Fiktiv kraft

Ei fiktiv kraft er ei tilsynelatande kraft som verkar på alle massar i referansesystem som ikkje er eit tregleikssystem, t.d. eit roterande referansesystem. Krafta $F$ oppstår ikkje på grunn av fysiske hendingar, men som følgje av akselerasjonen $a$ til eit ikkje-tregleikssystem. På grunn av Newton si andre lov $F=ma$, er fiktive krefter alltid proporsjonal til massen $m$, som krafta verkar på.

Rolla i utrekningar

Det er av og til nyttig å løyse fysiske problem i ikkje-tregleikssystem. I slike tilfelle må ein ta med dei fiktive kreftene som kjem av akselerasjonen til systemet. Jordoverflata er eit døme på eit roterande referansesystem. For å løyse problemstillingar i klassisk mekanikk med jordaoverflata som referansesystem, må ein ha med to fiktive krefter, corioliskrafta og sentrifugalkrafta (skildra under), der corioliskrafta er den dominerande på Jorda. Begge desse fiktive kreftene er svake samanlikna med vanlege krefter ein vanlegvis merkar, men dei kan vere viktige i visse samanhengar. Léon Foucault viste corioliskrafta som kjem av jordrotasjonen ved å bruke ein Foucaultpendel. Visst Jorda plutseleg byrja å rotere tusen gangar raskare (slik at kvar dag berre var om lag 86 sekund lang), ville folk lett ha merka dei fiktive kreftene som dreg i dei, akkurat som på ein spinnande karusell.

Påvise ikkje-tregleikssystem

Filosofar har stundom sagt at personar som lever på innsida av ein lukka boks som roterer (eller akselererer på annan måte) ikkje ville merke sin eigen rotasjon/akselerasjon. Dette er ikkje sant. Observasjonar frå innsida av boksen kan påvise at dei er i eit ikkje-tregleikssystem ut frå dei fiktive kreftene som oppstår på grunn av den akselererande boksen. Til dømes vil ein Foucaultpendel i eit museum presesere uansett om museumet har veggar eller ikkje.

Til samanlikning kan personar som lever på innsida av ein boks som flyttar seg med jamn fart (altså utan akselerasjon og rotasjon) derimot ikkje påvise si eiga rørsle. Dette er essensen i fysikken til dei to første rørslelovene til Newton.

Newtonske døme på fiktive krefter

Akselerasjon i ei rett line

Når ein bil akselererer kraftig føler personar i bilen at dei vert «pressa bakover i setet». I eit tregleikssystem som er festa til vegen er det ingen fysiske krefter som pressar personane bakover. I personane sitt ikkje-tregleiksssystem, som er knytt til den akselererande bilen, er det derimot ei fiktiv kraft som verkar bakover. Vi nemner to mogelege måtar å analysere dette problemet på:

1. Ut i frå tregleikssystem med konstant fart som følgjer startrørsla til bilen, så akselererer bilen. For at passasjeren skal bli verande inne i bilen, må det utøvast ei kraft på han. Denne krafta kjem frå setet, som byrjar og flytte seg framover i lag med bilen og pressar seg mot passasjeren. Dermed akselererer passasjeren i dette referansesystemet, på grunn av den ubalanserte krafta frå setet.
2. Sett frå innsida av bilen, eit akselererande referansesystem, er det ei fiktiv kraft som pressar passasjeren bakover, med ein storleik som er lik massen til passasjeren multiplisert med akselerasjonen til bilen. Denne krafta presser passasjeren bakover i setet, til setet etter kvart verkar tilbake med ei kraft som er like stor og motsett retta. Etter dette er passasjeren stasjonær i dette systemet, fordi den fiktive krafta og den (verkelege) krafta frå setet er balanserte.

Dette viser korleis fiktive krefter oppstår når ein byter til eit ikkje-tregleikssystem. Utrekninga av fysiske storleikar i begge systema gjev same svar, men av og til er det lettare å gjere utrekninga i eit ikkje-tregleikssystem (i dette dømet er utrekningane like lett i begge systema).

Sirkulær rørsle

Ein liknande effekt oppstår i rotasjonsrørsle, som er sirkulær når ein ser situasjonen frå tregleikssystemet. I ikkje-tregleikssystemet vil ein merke den fiktive krafta kalla sentrifugalkrafta. Viss ein bil køyrer med konstant fart i ein sirkel, så vil passasjerane føle at dei vert pressa utover, bort frå senteret av sirkelen. Igjen kan ein sjå situasjonen frå dei to forskjellige systema:

1. Ut i frå tregleikssystemet, som er stasjonært i forhold til vegen, akselererer bilen mot senteret av sirkelen. Dette vert kalla sentripetalakselerasjon, og krev ei sentripetalkraft for å oppretthalde rørsla. Krafta vert oppretthalde av friksjonen mellom vegen og hjula til bilen. Bilen akselererer på grunn av den ubalanserte krafta, som får bilen til å køyre i ein sirkel.
2. Sett ut frå det roterande systemet, som flyttar seg i lag med bilen, er det ei fiktiv sentrifugalkraft som pressar bilen utover. Sentrifugalkrafta er balansert av akselerasjonen av hjula innover, som gjer at bilen i dette referansesystmet er stasjonær.

Viss ein set jordoverflata som referansesystem vert tyngdekrafta redusert med om lag ein tusendel på grunn av sentrifugalkrafta. Storleiken er derimot avhengig av breiddegraden, og krafta er null ved polane og størst ved ekvator.

Ei anna fiktiv kraft som oppstår i rotasjonssystem er corioliskrafta, som berre er synleg på storskala rørsle, som prosjektilrørsle frå langdistansekanoner, eller sirkulasjonar i jordatmosfæren. Visst ein ser bort frå luftmotstand vil ein lekam som fell ned frå eit 50 meter høgt tårn ved ekvator falle 7,7 millimeter aust for punktet like under der han vart droppa frå, og dette kjem av corioliskrafta.

Når ein studerer lekamar over store avstandar og har eit roterande referansessytem, må ein ta med sentrifugal- og corioliskrafta i utrekningane. Vi kan tenkje oss ei fjern stjerne, observert frå eit roterande romskip. I referansesystemet som roterer i lag med romskipet, vil det sjå ut til at stjerna flyttar seg i ein sirkelbane rundt romskipet. Den tilsynelatande rørsla til stjerna er ein tilsynelatande sentripetalakselerasjon. På same måte som dømet med bilen i sirkelrørsle, har sentrifugalkrafta same storleik som den fiktive sentripetalkrafta, men er motsett retta. I dette tilfellet er corioliskrafta dobbelt så stor som sentrifugalkrafta, og peikar i same retning som sentripetalkrafta. Vektorsummen av sentrifugalkrafta og corioliskrafta er den totale fiktive krafta, som i dette tilfellet peikar i retninga til sentripetalkrafta.

Fiktive krefter og arbeid

Fiktive krefter kan gjere eit arbeid, så lenge dei flyttar ein lekam langs ein trajektorie som endrar energien frå potensiell til kinetisk energi. Til dømes kan vi tenkje oss ein person i ein roterande stol som held ei vekt med utstrekte armar. Om han dreg armane innover, vil han ut i frå hans roterande referansesystem ha gjort eit arbeid mot sentrifugalkrafta. Viss han no slepp vekta, vil vekta ut frå hans synspunkt falle utover, fordi sentrifugalkrafta har gjort eit arbeid på lekamen, og omgjort den potensielle energien til kinetisk. Frå eit tregleikssystem vil lekamen falle utover fordi lekamen no kan flytte seg langs ei rett linje. Dette viser at arbeidet som vert gjort kan vere forskjellig frå eit tregleikssystem og eit ikkje-tregleikssystem.

Gravitasjon som ei fiktiv kraft

Alle fiktive krefter er proporsjonal til massen til lekamen dei verkar på, som òg gjeld for gravitasjon. Dette førte til at Albert Einstein byrja å lure på om tyngdekrafta òg var ei fiktiv kraft. Han merka seg at ein person i fritt fall i ein lukka boks ikkje kan merke tyngdekrafta, derfor er referansesystem i fritt fall ekvivalent til tregleikssystem. Ut i frå dette kunne Einstein (etter om lag ni års arbeid) vise at gravitasjon faktisk er ei fiktiv kraft, den tilsynelatande akselerasjonen er faktisk tregleiksrørsle i krumma romtid. Dette er den essensielle fysikken i Einstein sin teori om generell relativitet

Matematisk utleiing av fiktive krefter

Generell utleiing

Vi tenkjer oss ein partikkel med masse m og posisjonsvektor x_a(t) i eit tregleikssystem A. Vi tenkjer oss så eit ikkje-tregleikssystem B, der posisjonen relativt til tregleikssystemet er gjeven ved X(t). Sidan B er i eit ikkje-tregleikssystem, må vi ha at d²X/dt² (akselerasjonen til system B i forhold til system A) må vere ulik null. La posisjonen til partikkelen i system B vere x_b(t). Då har vi

$\mathbf {x} _{a}(t)=\mathbf {x} _{b}(t)+\mathbf {X} (t)$

Ved å tidsderivere denne to gonger får vi

${\frac {d^{2}\mathbf {x} _{a}}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}\mathbf {x} _{b}}{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathbf {X} }{dt^{2}}}$

No kan vi sjå på kreftene i denne problemstillinga, ut i frå Newton si andre lov, F = ma. Den verkelege krafta er sjølvsagt krafta i system A (tregleikssystemet), slik at

$\mathbf {F} _{\mbox{verkeleg}}=m{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{a}}{dt^{2}}}$

Men viss vi derimot skal løyse eit problem i system B, så er det nyttig å ta med dei tilsynelatande kreftene, som er gjevne ved:

$\mathbf {F} _{\mbox{tilsynelatande}}=m{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{b}}{dt^{2}}}=m{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{a}}{dt^{2}}}-m{\frac {d^{2}\mathbf {X} }{dt^{2}}}=\mathbf {F} _{\mbox{verkeleg}}-m{\frac {d^{2}\mathbf {X} }{dt^{2}}}$

No definerer vi

$\mathbf {F} _{\mbox{fiktiv}}=-m{\frac {d^{2}\mathbf {X} }{dt^{2}}}$

som gjev:

$\mathbf {F} _{\mbox{tilsynelatande}}=\mathbf {F} _{\mbox{verkeleg}}+\mathbf {F} _{\mbox{fiktiv}}$

Dermed kan vi løyse problemet i system B ved å tenkje oss at Newton si andre lov gjeld (med omsyn på storleikane i det systemet) og omhandlar F_fiktiv som ei verkeleg kraft.

Roterande referansessystem

Roterande referansesystem er ikkje-tregleikssystem, på grunn av akselerasjonen som fører til rotasjonsrørsla. Ein får alltid fiktive krefter i tillegg når ein bruker roterande referansesystem. Likevel fører dette ofte til enklare utrekningar.

Forholdet mellom akselerasjonen i eit tregleikssystem og eit roterande referansesystem som roterer med vinkelfarten ${\boldsymbol {\omega }}$ kan uttrykkast som

$\mathbf {a} _{\mbox{tr}}=\left({\frac {d\mathbf {v} _{\mbox{tr}}}{dt}}\right)_{\mbox{tr}}=\left({\frac {d\mathbf {v} _{\mbox{tr}}}{dt}}\right)_{\mbox{rot}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{\mbox{tr}}$

der vi har brukt forholdet for den tidsderiverte av ein vektor i eit roterande referansesystem

$\left({\frac {d\mathbf {B} }{dt}}\right)_{\mbox{tr}}=\left({\frac {d\mathbf {B} }{dt}}\right)_{\mbox{rot}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {B}$ , for ein vektor $\mathbf {B}$

Sidan $\mathbf {v} _{\mbox{tr}}=\mathbf {v} _{\mbox{rot}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \$, vert akselerasjonen

$\mathbf {a} _{\mbox{tr}}=\left({\frac {d(\mathbf {v} _{\mbox{rot}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )}{dt}}\right)_{\mbox{rot}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{\mbox{rot}}+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )$

eller

$\mathbf {a} _{\mbox{tr}}=\mathbf {a} _{\mbox{rot}}+{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}\times \mathbf {r} +2{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{\mbox{rot}}+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )$

Akselerasjonen i det roterande systemet vert

$\mathbf {a} _{\mbox{rot}}=\mathbf {a} _{\mbox{tr}}-2{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{\mbox{rot}}-{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )-{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}\times \mathbf {r}$

Sidan kreftene i det roterande systemet er $\mathbf {F} _{\mbox{rot}}=m\mathbf {a} _{\mbox{rot}}\$ og per definisjon har vi $\mathbf {F} _{\mbox{rot}}=\mathbf {F} _{\mbox{tr}}+\mathbf {F} _{\mbox{fiktiv}}\$, vert den fiktive krafta

$\mathbf {F} _{\mbox{fiktiv}}=-2m{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{\mbox{rot}}-m{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )-m{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}\times \mathbf {r}$

Her er det først leddet corioliskrafta, det andre leddet sentrifugalkrafta og det tredje leddet eulerkrafta. Når rotasjonsraten ikkje endrar seg, som er vanleg for ein planet, er eulerkrafta null.

Kjelder

1. Daniel Kleppner and Robert J. Kolenkow, (1973) An Introduction to Mechanics, McGraw-Hill
2. Jerold E. Marsden and Tudor.S. Ratiu, (1994), Introduction to Mechanics and Symmetry: A Basic Exposition of Classical Mechanical Systems, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97275-7
3. Alexander Fetter and John Walecka, Theoretical Mechanics of particles and continua, McGraw-Hill, pages 33–39.
4. Lev D. Landau and E. M. Lifshitz, (1976) Mechanics, Butterworth-Heinenan, pages 128-130.
5. Jerry B. Marion, (1970), Classical Dynamics of Particles and Systems, Academic Press.
6. Keith Symon, (1971), Mechanics, Addison-Wesley

Sjå òg

• Newtons rørslelover
• tregleikssystem
• ikkje-tregleikssystem
• roterande referansesystem
• corioliskrafta
• sentrifugalkrafta
• gravitasjon
• generell relativitet
• d'Alemberts prinsipp for tregleikskrefter
• sentripetalkrafta