Grenselag

Eit grenselag er i fysikk og væskedynamikk eit væskelag som ligg nærast ei grenseflate. I atmosfæren er grenselaget luftlaget nærast bakken som vert påverka av den dagelge oppvarminga, og er laget der fukt og momentum vert transportert frå overflata og inn i atmosfæren. På ei flyvengje er grenselaget den delen av luftstraumen som er nærast vengja. Grenselaget forstyrrar ikkje-viskøs straum på grunn av visøkse krefter. Denne effekten er relatert til Leidenfrosteffekten og reynoldstalet.

Ein har forskjellige laminære grenselag som til ein viss grad kan klassifisert ut frå stukturen deira og måten dei oppstår på. Eit Stokeslag er eit tynt skjerlag som utviklar seg på ein oscillerande lekam, medan Blasius grenselag er ei similaritetsløysing for eit stasjonært grenselag på ei flate mot ein innkommande einsretta straum. Når ei væske roterer, kan dei viskøse kreftene balanserast av corioliskrafta i stadenfor konvektiv tregleik, og dette fører til danning av Ekmanlag.

Aerodynamikk

Det aerodynamiske grenselaget vart først definert av Ludwig Prandtl i ein artikkel ved den tredje Matematikkongressen i Heidelberg i Tyskland. Det gjer at ein kan forenkle likningane i ein væskestraum ved å dele straumfeltet i to område: eit på insida av grenselaget, der viskositet og friksjonskrefter dominerer, og eit på utsida av grenselaget der viskositeten kan neglisjerast utan at det påverkar løysinga. Dermed får ein ei lukka løysing av straumen i begge område, som er ei kraftig forenkling av løysinga av Navier-Stokes-likningane. Mesteparten av varmeoverføring til og frå ein lekam skjer òg i grenselaget, noko som igjen gjev enklare likningar for straumen utanfor grenselaget.

Tjukkleiken på snøggleiksgrenselaget er normalt definert som avstanden frå den faste lekamen der straumfarten er 99 % av farten i fri straum. Når farten er null ved overflata og temperaturen til væska ved overflata er lik temperaturen til overflata, vil straumfarten raskt auke bort frå overflata, gjeve ved grenselagslikningane under. Den termale grenselagstjukkleiken er på same måten avstanden der temperaturen er 99 % av temperaturen i det ikkje-viskøse laget. Forholdet mellom tjukkleiken på dei to laga er gjeve av prandtltalet. Viss prandtltalet er lik 1 har dei to grenselag same tjukkleik. Viss prandtltalet er større enn 1 så er det termale grenselaget tynnare enn snøggleiksgrenselaget, og motsett når prandtltalet er mindre enn 1, som er tilfellet for standard atmosfæreforhold.

Ved høge reynoldstal, som er vanleg for store fly, er det ønskjeleg å ha laminært grenselag. Dette fører til mindre friksjon på grunn av den karakteristiske fartsprofilen til laminær straum. Grenselaget vert derimot tjukkare og mindre stabilt når straumen utviklar seg langs flykroppen, og vert til slutt turbulent, ein prosess kalla grenselagsovergang. Ein måte å løyse problemet på er å suge grenselaget ned gjennom ei porøs flate. Dette kan redusere luftmotstanden, men er ofte upraktisk på grunn av den kompliserte mekanikken som må til.

Ved låge reynoldstal, som ein kan sjå på modellfly, er det relativt enkelt å oppretthalde ein laminær straum, og dette gjev liten luftmotstand. Fartsprofilet som fører til den låge luftmotstanden vert derimot lett påverka av ugunstige trykkgradientar. Når trykket vert gjennoppretta på baksida av vengja, kan det laminære grenselaget skilje seg frå overflata, og dette medfører auka motstand. For å løyse dette kan ein skape turbulens i grenselaget ved å bruke ein turbulator før det laminære laget lettar frå overflata. Det skapar ein større snøggleiksprofil i det turbulente laget som motverkar den ugunstige trykkgradienten utan at straumen skil seg frå overflata, og dermed vert luftmotstanden minka. Alle hola i ein golfball byggjer på same prinsippet.

Grenselagslikningar

Utleiinga av grenselagslikningane var kanskje ein av dei viktigaste framskritta innan aerodynamikk. Ved å analysere storleikar av parameterane som er involvert, kan Navier-Stokes-likningane for viskøs væskestraum forenklast innanfor grenselaget. Dei karakteristiske likningane i dei partielle differentiallikningane vert parabolske og ikkje elliptiske. Dette gjev ei mykje enklare løysing på likningane. Ved å gjere ein grenselagsapproksimasjon, vert straumen delt inn i ein ikkje-viskøs del (som ein kan løyse på fleire måtar) og ein del utanfor grenselaget. Navier-Stokes likningane for ein todimensjonal, stasjonær og inkompressibel straum er gjeve ved:

${\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}=0$

$u{\partial u \over \partial x}+v{\partial u \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial x}+{\nu }({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}})$

$u{\partial v \over \partial x}+v{\partial v \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial y}+{\nu }({\partial ^{2}v \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}v \over \partial y^{2}})$

der u og v er fartskomponentar, $\rho$ er tettleiken, p er trykket og $\nu$ er kinematisk viskositet til væska i eit punkt.

Tilnærminga seier at når reynoldstalet er stort nok, så kan straumen over ei flate delast opp i eit ytre område med ikkje-viskøs straum og eit område nær overflata der viskositet er viktig (grenselaget). La $u$ og $v$ følgje straumen og vere transverse innanfor grenselaget. Ved å bruke asymptotisk analyse kan ein vise at rørslelikningane over vert redusert i grenselaget til:

${\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}=0$

$u{\partial u \over \partial x}+v{\partial u \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial x}+{\nu }{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}$

og vi får resultatet

${1 \over \rho }{\partial p \over \partial y}=0$

Den asymptotiske analysen viser at $v$, farten normalt på overflata, er liten samanlikna med $u$ som følg straumen, og at variasjonar i straumretninga generelt er mykje mindre enn variasjonar på tvers av straumen.

Sidan det statiske trykket $p$ er avhengig av $y$, så er trykket ved utkanten av grenselaget trykket gjennom grenselaget ein gjeven stad i straumretninga. Det eksterne trykket kan ein få ved å bruke Bernoullilikninga. La $u_{0}$ vere væskefarten utanfor grenselaget, der $u$ og $u_{0}$ begge er parallelle. Ved å sette inn for $p$ får vi

$u{\partial u \over \partial x}+v{\partial u \over \partial y}=u_{0}{\partial u_{0} \over \partial x}+{\nu }{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}$

med grensevilkåret

${\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}=0$

For ein straum der det statiske trykket $p$ ikkje endrar seg i straumretninga er

${\partial p \over \partial x}=0$

slik at $u_{0}$ er konstant.

Dermed blir rørslelikninga forenkla til å bli

$u{\partial u \over \partial x}+v{\partial u \over \partial y}={\nu }{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}$

Desse tilnærmingane vert brukt til å løyse mange praktiske straumingsproblem, og analysen over gjeld for alle laminære og turbulente grenselag.

Turbulent grenselag

Å løyse problem i turbulente grenselag er mykje vanskelegare sidan parametrane er avhengig av tida. Ein av dei mest brukte teknikkane er reynoldsmidling. Her blir kvar storleik som skildrar straumen dekomponert i ein midla og ein perturbert komponent. Ved å bruke denne teknikken på grenselagslikningane får ein dei turbulente grenselagslikningane:

${\partial {\overline {u}} \over \partial x}+{\partial {\overline {v}} \over \partial y}=0$

${\overline {u}}{\partial {\overline {u}} \over \partial x}+{\overline {v}}{\partial {\overline {u}} \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial x}+{\nu }({\partial ^{2}{\overline {u}} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}{\overline {u}} \over \partial y^{2}})-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {u'v'}})-{\frac {\partial }{\partial x}}({\overline {u'^{2}}})$

${\overline {u}}{\partial {\overline {v}} \over \partial x}+{\overline {v}}{\partial {\overline {v}} \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial y}+{\nu }({\partial ^{2}{\overline {v}} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}{\overline {v}} \over \partial y^{2}})-{\frac {\partial }{\partial x}}({\overline {u'v'}})-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {v'^{2}}})$

Ved å analysere storleiken på same måte som for grenselagslikningane kan desse turbulente grenselagslikningane reduserast til:

${\partial {\overline {u}} \over \partial x}+{\partial {\overline {v}} \over \partial y}=0$

${\overline {u}}{\partial {\overline {u}} \over \partial x}+{\overline {v}}{\partial {\overline {u}} \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial x}+{\nu }{\partial ^{2}{\overline {u}} \over \partial y^{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {u'v'}})$

${\partial {\overline {p}} \over \partial y}=0$

Leddet ${\overline {u'v'}}$ som ein får i tillegg i dei turbulente grenslagslikningane vert kalla reynoldsstress, som ein må vite på førehand.

Sjå òg

• Planetært grenselag

Referansar

• A.D. Polyanin and V.F. Zaitsev, Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton - London, 2004. ISBN 1-58488-355-3
• A.D. Polyanin, A.M. Kutepov, A.V. Vyazmin, and D.A. Kazenin, Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering, Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27237-8
• Herrmann Schlichting, Klaus Gersten, E. Krause, H. Jr. Oertel, C. Mayes «Boundary-Layer Theory» 8th edition Springer 2004 ISBN 3-540-66270-7
• John D. Anderson, Jr, «Ludwig Prandtl's Boundary Layer», Physics Today, December 2005