Ein hyperbolsk funksjon er funksjonane sinh (sinus hyperbolicus), cosh (cosinus hyperbolicus), tanh (tangens hyperbolicus), coth (cotangens hyperbolicus), sech (secans hyperbolicus) og csch (cosecans hyperbolicus).
Her er e grunntalet i det naturlege logaritmesystemet .
Dei hyperbolske funksjonane har eigenskapar som er analoge med dei trigonometriske funksjonane . På same måte som sin x {\displaystyle \sin x} og cos x {\displaystyle \cos x} kan nyttast til å parametrisere ein sirkel , kan dei hyperbolske funksjonane sinh x {\displaystyle \sinh x} og cosh x {\displaystyle \cosh x} parametrisere ein hyperbel .
Standard algebraiske uttrykk
endre
Nyttige forhold
endre
sinh ( − x ) = − sinh x {\displaystyle \sinh(-x)=-\sinh x\,\!}
cosh ( − x ) = cosh x {\displaystyle \cosh(-x)=\cosh x\,\!} Dermed:
tanh ( − x ) = − tanh x {\displaystyle \tanh(-x)=-\tanh x\,\!}
coth ( − x ) = − coth x {\displaystyle \coth(-x)=-\coth x\,\!}
sech ( − x ) = sech x {\displaystyle \operatorname {sech} (-x)=\operatorname {sech} \,x\,\!}
csch ( − x ) = − csch x {\displaystyle \operatorname {csch} (-x)=-\operatorname {csch} \,x\,\!} Ein kan sjå at cosh x og sech x er jamne funksjonar , medan dei andre er odde funksjonar .
arsech x = arcosh 1 x {\displaystyle \operatorname {arsech} \,x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}} arcsch x = arsinh 1 x {\displaystyle \operatorname {arcsch} \,x=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}} arcoth x = artanh 1 x {\displaystyle \operatorname {arcoth} \,x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}} Hyperbolsk sinus og cosinus tilfredsstiller identiteten
cosh 2 x − sinh 2 x = 1 {\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1\,} som liknar den pythagoreiske trigonometriske identiteten . Ein har òg
tanh 2 x = 1 − sech 2 x {\displaystyle \tanh ^{2}x=1-\operatorname {sech} ^{2}x}
coth 2 x = 1 + csch 2 x {\displaystyle \coth ^{2}x=1+\operatorname {csch} ^{2}x} for dei andre funksjonane.
Den hyperbolske tangensen er løysinga til det ikkje-lineære grenseverdiproblemet [1] :
1 2 f ″ = f 3 − f ; f ( 0 ) = f ′ ( ∞ ) = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}f''=f^{3}-f\qquad ;\qquad f(0)=f'(\infty )=0} Det kan visast at arealet under kurva til cosh x alltid er like bogelengda:[2]
areal = ∫ a b cosh x d x = ∫ a b 1 + ( d d x cosh x ) 2 d x = bogelengd . {\displaystyle {\text{areal}}=\int _{a}^{b}{\cosh {x}}\ dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh {x}\right)^{2}}}\ dx={\text{bogelengd}}.} Inverse funksjonar som logaritmar
endre
arsinh x = ln ( x + x 2 + 1 ) {\displaystyle \operatorname {arsinh} \,x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)} arcosh x = ln ( x + x 2 − 1 ) ; x ≥ 1 {\displaystyle \operatorname {arcosh} \,x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1} artanh x = 1 2 ln 1 + x 1 − x ; | x | < 1 {\displaystyle \operatorname {artanh} \,x={\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}};\left|x\right|<1} arcoth x = 1 2 ln x + 1 x − 1 ; | x | > 1 {\displaystyle \operatorname {arcoth} \,x={\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}};\left|x\right|>1} arsech x = ln 1 + 1 − x 2 x ; 0 < x ≤ 1 {\displaystyle \operatorname {arsech} \,x=\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}};0<x\leq 1} arcsch x = ln ( 1 x + 1 + x 2 | x | ) {\displaystyle \operatorname {arcsch} \,x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right)}
d d x sinh x = cosh x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sinh x=\cosh x\,} d d x cosh x = sinh x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cosh x=\sinh x\,} d d x tanh x = 1 − tanh 2 x = sech 2 x = 1 / cosh 2 x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh x=1-\tanh ^{2}x={\hbox{sech}}^{2}x=1/\cosh ^{2}x\,} d d x coth x = 1 − coth 2 x = − csch 2 x = − 1 / sinh 2 x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\coth x=1-\coth ^{2}x=-{\hbox{csch}}^{2}x=-1/\sinh ^{2}x\,} d d x csch x = − coth x csch x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\hbox{csch}}\,x=-\coth x\ {\hbox{csch}}\,x\,} d d x sech x = − tanh x sech x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\hbox{sech}}\,x=-\tanh x\ {\hbox{sech}}\,x\,} d d x arsinh x = 1 x 2 + 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arsinh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}} d d x arcosh x = 1 x 2 − 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcosh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}} d d x artanh x = 1 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {artanh} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}} d d x arcsch x = − 1 | x | 1 + x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcsch} \,x=-{\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}}} d d x arsech x = − 1 x 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arsech} \,x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}} d d x arcoth x = 1 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcoth} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}} Standardintegral
endre
Taylorrekkjer
endre
Det er mogeleg å uttrykke funksjonane over som Taylorrekkje :
sinh x = x + x 3 3 ! + x 5 5 ! + x 7 7 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}} Funksjonen sinh x har ei Taylorrekkje med berre odde eksponentar for x . Dermed er han ein oddefunksjon , som er −sinh x = sinh(−x ), og sinh 0 = 0.
cosh x = 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! + x 6 6 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x 2 n ( 2 n ) ! {\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}} Funksjonen cosh x har ei Taylorrekkje med berre jamne eksponentar for x . Derfor er han ein jamn funksjon , altså symmetrisk med omsyn til y -aksen. Summen av sinh- og cosh-rekkjene er ei uendeleg rekkje av eksponentialfunksjonen .
tanh x = x − x 3 3 + 2 x 5 15 − 17 x 7 315 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ 2 2 n ( 2 2 n − 1 ) B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! , | x | < π 2 {\displaystyle \tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}} coth x = x − 1 + x 3 − x 3 45 + 2 x 5 945 + ⋯ = x − 1 + ∑ n = 1 ∞ 2 2 n B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! , 0 < | x | < π {\displaystyle \coth x=x^{-1}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots =x^{-1}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi } (Laurentrekkje )sech x = 1 − x 2 2 + 5 x 4 24 − 61 x 6 720 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ E 2 n x 2 n ( 2 n ) ! , | x | < π 2 {\displaystyle \operatorname {sech} \,x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}} csch x = x − 1 − x 6 + 7 x 3 360 − 31 x 5 15120 + ⋯ = x − 1 + ∑ n = 1 ∞ 2 ( 1 − 2 2 n − 1 ) B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! , 0 < | x | < π {\displaystyle \operatorname {csch} \,x=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =x^{-1}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi } (Laurentrekkje )der
B n {\displaystyle B_{n}\,} er det n -te Bernoullitalet
E n {\displaystyle E_{n}\,} er det n -te Eulertalet Bakgrunnsstoff
endre