Kjeglependel

Ein kjeglependel eller konisk pendel er ein pendel der loddet rører seg langs ein horisontal sirkel, medan snora som loddet er festa til, skildrar ei kjegleflate.

Kjeglependelen vart først studert av den engelske forskaren Robert Hooke kring 1660 som ein modell for banerørsla til planetar. I 1673 rekna den nederlandske forskaren Christiaan Huygens ut perioden til pendelen og nytta eit nytt omgrep han kalla sentrifugalkraft. Seinare vart pendelen nytta for å ta tida i enkle mekaniske klokker.

Analyse

Ta utgangspunkt i ein kjeglependel med eit lodd med masse m som roterer utan friksjon i ein sirkel med ein konstant fart v på ei snor med ei lengd L og ein vinkel θ ut frå vertikalen.

Det er to krefter som verkar på loddet:

• trekkspenninga T i snora, som fungerer langs same linja som snoar og mot opphengpunktet.
• vekta til loddet mg, der m er massen til loddet og g er den lokale tyngdeakselerasjonen.

Krafta som vert utøvd av strengen kan skrivast med ein horisontal komponent, T sin(θ), mot midten av sirkelen, og ein vertikal komponent, T cos(θ), i retning oppover. Frå Newtons andre lov gjev den horisontale komponenten til spenninga i snora loddet ein sentripetalakselerasjonen mot midten av sirkelen:

$T\sin \theta ={\frac {mv^{2}}{r}}\,$

Kjeglependel med eit lodd som snurrar i ein horisontal sirkel med radius r. Loddet har massen m og heng i ei snor med lengd L. Trekkspenninga i snora som verkar på loddet er vektoren T, og vekta til loddet er vektoren mg.

Sidan det ikkje er noko akselerasjon i den vertikale retninga, er den vertikale komponenten av spenninga i snora lik og motsett retta vekta av loddet:

$T\cos \theta =mg\,$

Desse to likningane kan løysast for T/m og utlikna slik at ein kan eliminere T og m:

${\frac {g}{\cos \theta }}={\frac {v^{2}}{r\sin \theta }}$

Sidan farten til loddet er konstant, kan han uttrykkast med omkrinsen 2πr dividert på tida t det tar for loddet å ta ein runde rundt sirkelen:

$v={\frac {2\pi r}{t}}$

Ved å erstatte høgresida i denne likninga for v i den førre likninga får vi:

${\frac {g}{\cos \theta }}={\frac {({\frac {2\pi r}{t}})^{2}}{r\sin \theta }}={\frac {(2\pi )^{2}r}{t^{2}\sin \theta }}$

Ved å nytte den trigonometriske identiteten tan(θ) = sin(θ) / cos(θ) og løyse for t, tida det tar loddet å gjere ein runde er

$t=2\pi {\sqrt {\frac {r}{g\tan \theta }}}$

I eit praktisk eksperiment varierer r og det er ikkje lett å måle. r kan eliminerast frå likninga ved å sjå at r, h og L dannar ein rettvinkla trekant, der θ er vinkelen mellom h og hypotenusen L (sjå figuren). Derfor,

$r=L\sin \theta \,$

Ved å setje inn for r får ein ein formel der den einaste varierande parameteren er vinkelen θ:

$t=2\pi {\sqrt {\frac {L\cos \theta }{g}}}$

For små vinklar θ, cos(θ) ≈ 1, og perioden t til ein kjeglependel er lik perioden til ein vanleg pendel med same lengd. Perioden for små vinklar er òg tilnærma uavhengig av endringar i vinkelen θ. Dette tyder at rotasjonsperioden er tilnærma uavhengig av krafta som vert nytta til å halde han roterande. Denne eigenskapen, kalla isokronisme, har òg vanlege pendlar og dette gjer at begge er nyttige for tidtaking.

Sjå òg

• Newtons rørslelov
• Pendel
• Pendel i matematikk

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Conical pendulum» frå Wikipedia på engelsk, den 18. mai 2013.
  • Wikipedia på engelsk oppgav desse kjeldene:

Bakgrunnsstoff

• Ein interaktiv java-simulering av kjeglependel.