Flatetregleiksmoment

Flatetregleiksmoment, eller anna flatemoment, er ein storleik som gjev eit mål for korleis ei geometrisk flate fordeler seg om ei linje i flata.

Kvar enkelt flatedel blir multiplisert med kvadratet av avstanden sin, y, frå linja, og summen av alle desse produkta er lik flata sitt flatetregleiksmoment med omsyn på den valde linja.

$I=\int \limits _{A}y^{2}\,dA$

Om ein reknar ut flatetregleiksmomentet om ei linje normalt på flata, vert det kalla polart flatetregleiksmoment .

Omgrepet har særs stor tyding mellom anna i teorien for bøying av bjelkar, ved torsjon og i statikk.

Rektangulært tverrsnitt

Rektangulært tverrsnitt

Steinerteoremet for utrekning anna arealmoment

Rektangulært tverrsnitt

Røyrtverrsnitt

Integralet vert løyst på følgjande måte på måte for eit rektangulært tverrsnitt:

$I_{x}=\int \limits _{-h/2}^{h/2}y^{2}\,bdy={\left[{\frac {y^{3}b}{3}}\right]}_{-h/2}^{h/2}={\frac {bh^{3}}{12}}$

der h er høgda, og b er breidda av det rektangulære tverrsnittet. I_x blir da flatetregleiksmomentet om x-aksen i senteret C.

Sirkulært tverrsnitt

Integralet er ikkje vist her, men eit røyrtverrsnitt vert rekna ut frå $I={\frac {\pi D^{4}}{64}}$, der D er ytterdiameteren.

Røyrtverrsnitt

$I={\frac {\pi }{64}}(D^{4}-d^{4})$

der D er ytterdiameteren, og d er innerdiameteren.

Bruk av flatetregleiksmoment

Eit vanleg bruksområde av flatetregleiksmoment er ved utrekning av bøyespenninga, $\sigma _{b}$ i ein bjelke.

$\sigma _{b}={\frac {M}{I}}y$

der M er momentet, I er flatetregleiksmomentet og y er avstanden frå arealsenteret til punktet der du ønsker å rekne ut spenninga. Dersom du har eit rektangulært tverrsnitt er y = h/2.

Steinerteoremet

Dersom du har eit tverrsnitt som er samansett av fleire areal som ikkje ligg på same akse som tyngdepunktet av arealet, er det vanleg å bruke Steinerteoremet for å rekne ut flatetregleiksmomentet, kalla parallellakseteoremet, eller Steinersatsen.

$I_{z}=I_{x}+Ad^{2}.\,$, der I_x er flatetregleiksmoment for arealet som ligg på ein parallell akse utanfor arealsenteret (i akse z), d er avstanden frå arealsenteret i akse z til arealsenteret av A.

Motstandsmomentet

Eit anna vanleg omgrep i bjelkeberekningar er motstandsmomentet eller tverrsnittsmodulen (engelsk section modulus), og vert ofte skrive W. I vanleg praksis vert bøyespenningen $\sigma _{b}$ rekna ut frå

$\sigma _{b}={\frac {M}{W}}$, der $W={\frac {I}{y}}={\frac {I}{h/2}}$

siden arealsenteret til tverrsnittet vanlegvis ligg i midten av tverrsnittet, og følgjeleg er avstanden frå senteret av tverrsnittet til ytste fiber lik h/2.

Motstandsmomentet for nokre vanlege tverrsnitt er gjeve under

Rektangulært tverrsnitt

$W_{x}={\frac {bh^{2}}{6}}$

der b er breidda og h er høgda. Her gjeld bøying om x-aksen.

Sirkulært tverrsnitt

_$W={\frac {\pi D^{3}}{32}}$

der D er diameteren.

Røyrtverrsnitt

$W={\frac {\pi }{32D}}(D^{4}-d^{4})$

der D er ytterdiameter og d er innerdiameter.

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Annet arealmoment» frå Wikipedia på bokmål, den 2. mai 2013.

• flatetreghetsmoment. (27.02.2013) I Store norske leksikon. Henta frå: http://snl.no/flatetreghetsmoment