Matematisk gruppe

Ei gruppe er ein algebraisk struktur $(G,*)$ som består av ei ikkje-tom mengd $G$ og ein binær operasjon $*:G\times G\to G$ slik at følgande aksiom held. For alle $a,b,c\in G$, har me

• (assosiativitet) $a*(b*c)=(a*b)*c$
• (identitetselement) det finst $e\in G$ slik at $a*e=e*a=a$
• (inverselement) det finst $a^{-1}\in G$ slik at $a*a^{-1}=a^{-1}*a=e$

Dersom også

• (kommutativitet) $a*b=b*a,$

er $(G,*)$ ei abelsk gruppe.

Andre teikn i staden for $*$ nyttast ofte. T.d., er $\cdot$ mykje brukt og ein skriv ofte $ab$ i staden for $a\cdot b$. Viss $G$ er ei abelsk gruppe, nyttar ein ofte $+$.

Eksempel

• $(\mathbb {Z} ,+)$ kor $\mathbb {Z}$ er mengda av heiltal og $+$ er ordinær addisjon, er ei abelsk gruppe. Her er identitetselement $0$ og inverselementet til $a\in \mathbb {Z}$ er $-a\in \mathbb {Z}$.

Sjå òg

• Ring
• Kropp
• Abelsk gruppe