Ring er i matematikk ein algebraisk struktur med to binæroperasjonar, addisjon og multiplikasjon , som har mange av dei same eigenskapane som finst hjå heiltala . Mengda av heile tall,
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
matriser er eit døme på ein ikkje-kommutativ ring.
Ein ring
R
{\displaystyle R}
(
R
,
+
,
⋅
)
{\displaystyle (R,+,\cdot )}
R
{\displaystyle R}
+
:
R
×
R
→
R
{\displaystyle +:R\times R\to R}
⋅
:
R
×
R
→
R
{\displaystyle \cdot :R\times R\to R}
a
,
b
,
c
∈
R
{\displaystyle a,b,c\in R}
(assosiativitet )
(
a
+
b
)
+
c
=
a
+
(
b
+
c
)
{\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}
(kommutativitet )
a
+
b
=
b
+
a
{\displaystyle a+b=b+a}
(additiv identitet ) Det finst eit element
0
∈
R
{\displaystyle 0\in R}
0
+
a
=
a
+
0
=
a
{\displaystyle 0+a=a+0=a}
(multiplikativ identitet ) Det finst eit element
1
∈
R
{\displaystyle 1\in R}
1
⋅
a
=
a
⋅
1
=
a
{\displaystyle 1\cdot a=a\cdot 1=a}
(additiv invers) Det finst eit element
d
∈
R
{\displaystyle d\in R}
a
+
d
=
0
{\displaystyle a+d=0}
(distributivitet )
a
⋅
(
b
+
c
)
=
a
⋅
b
+
a
⋅
c
{\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}
(
a
+
b
)
⋅
c
=
a
⋅
c
+
b
⋅
c
{\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}
(
R
,
+
)
{\displaystyle (R,+)}
abelsk gruppe og
(
R
,
⋅
)
{\displaystyle (R,\cdot )}
semigruppe .
Vidare definisjoner
endre
(
R
,
+
,
⋅
)
{\displaystyle (R,+,\cdot )}
kommutativ ring
⋅
{\displaystyle \cdot }
a
⋅
b
=
b
⋅
a
{\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,b\in R}
(
R
,
+
,
⋅
)
{\displaystyle (R,+,\cdot )}
kropp
(
R
∗
,
⋅
)
{\displaystyle (R^{*},\cdot )}
R
∗
{\displaystyle R^{*}}
R
{\displaystyle R}
0
{\displaystyle 0}
polynomringen
R
[
x
]
{\displaystyle R[x]}
polynom med koeffisientar i ein kommutativ ring
R
{\displaystyle R}
ringen
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
heiltal
Den endelege ringen
Z
n
{\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
![{\displaystyle R[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce54622cb380383ab3a42441b056626ea0d2440)
