Stefan-Boltzmann-lova

Stefan–Boltzmann-lova, òg kalla Stefanlova, seier at den totale energien som vert strålt ut frå ein svartlekam per areal, j^*, er direkte proporsjonal til fjerdepotensen av den termodynamiske temperaturen T (òg kalla absolutt temperatur) til svartlekamen:

Graf av ein funksjon for totalt utstrålt energi frå ein svartlekam $j^{\star }$ proporsjonal til den termodynamiske temperaturen $T\,$. I turkis er den totale energien i følgje wientilnærming, $j_{W}^{\star }=j^{\star }/\zeta (4)\approx 0.924\,\sigma T^{4}\!\,$

$j^{\star }=\sigma T^{4}.$

Eit meir generelt tilfelle er ein grå lekam, ein som ikkje fullstendig absorberer eller emitterer heile strålingsfluksen. I staden for vert det stråla ut delar av fluksen, styrt av emissiviteten, $\varepsilon$:

$j^{\star }=\varepsilon \sigma T^{4}.$

Irradiansen j^* har dimensjonane til energifluksen (energi per tid per areal) og SI-einingane er joule per sekund per kvadratmeter, eller watt per kvadratmeter. SI-eininga for absolutt temperatur T er kelvin. $\varepsilon$ er emissiviteten til ein grå lekam. Om han er ein perfekt svart lekam er $\varepsilon =1$. I eit meir generelt (og realistisk) tilfelle, er emissiviteten avhengig av bølgjelengda, $\varepsilon =\varepsilon (\lambda )$, til strålinga.

For å finne den totale absolutte effekten til energien strålt ut frå ein lekam, må ein ta omsyn til overflatearealet, A (i m²):

$P=Aj^{\star }=A\varepsilon \sigma T^{4}.$

Proporsjonalitetskonstanten σ er Stefan–Boltzmann-konstanten og er ikkje-universell på den måten at han er utleidd frå andre konstantar. Verdien til konstanten er

$\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}=5.670400\times 10^{-8}{\textrm {J}}{\textrm {s}}^{-1}{\textrm {m}}^{-2}{\textrm {K}}^{-4}$

der k er boltzmannkonstanten, h er planckkonstanten og c er lysfarten i vakuum. Så ved 100 K er energiflukstettleiken 5,67 W/m², ved 1000 K 56 700 W/m², etc.

Lova vart utleia av Jožef Stefan (1835-1893) i 1877 basert på målingar gjort av John Tyndall. Stefan publiserte lova i artikkelen Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur (Om forholdet mellom varmestråling og temperatur) i Bulletins from the sessions hos Wien Vitskapsakademi. Dei teoretiske omsyna vart ved hjelp av termodynamikken utleidd av Ludwig Boltzmann (1844-1906) i 1884, med utgangspunkt i arbeidet til Adolfo Bartoli. Boltzmann såg på ein viss ideell varmemaskin med lys som materie i staden for gass. Lova gjeld berre for ideelle svartlekamar, som er perfekte strålingslekamar.

Utleiing av Stefan–Boltzmann-lova

Utleiing ved hjelp av intensiteten

Lova kan utleiast ved å sjå på ei lita flat svartlekamflate som stråler ut i ein halvsfære. Denne utleiinga nytta sfæriske koordinatar med φ som senitvinkel og θ som asmiutvinkel. Den vesle flata ligg i xy-planet, der φ = ^π/₂.

Lysintensiteten som vert emittert frå svartlekam flata er gjeven av plancklova :

$I(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}.$

der

• $I(\nu ,T)d\nu \,$ er energimengda per overflatereal per tid per romvinkel emittert i eit frekvensområde mellom ν og ν+dν av ein svartlekam med temperatur T
• $h\,$ er planckkonstanten
• $c\,$ er lysfarten og
• $k\,$ er boltzmannkonstanten.

Storleiken $I(\nu ,T)~A~d\nu ~d\Omega$ er effekten strålt av ei flate med areal A gjennom ein romvinkel dΩ i frekvensområdet $\left(\nu ,\nu +d\nu \right)\,$.

Stefan–Boltzmann-lova gjev at effekten emittert ut av per areal frå ein emitterande lekam er

${\frac {P}{A}}=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)d\nu \int d\Omega \,$

For å kome fram til Stefan–Boltzmann-lova må ein integrere Ω over halvsfæren og integrere ν frå 0 til ∞ (uendeleg). I tillegg, på grunn av Lambert si cosiunuslov, vil intensiteten observert langs sfæren vere den faktiske intensiteten gangar cosinus til senitvinkelen φ og i sfæriske koordinatar dΩ = sin(φ) dφ dθ.

${\frac {P}{A}}$	$=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)d\nu \int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\pi /2}\cos \phi \sin \phi d\phi \,$
	$=\pi \int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)d\nu \,$

Så set vi inn for I:

${\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\nu ^{3}}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}d\nu \,$

For å gjere dette integralet må ein erstatte,

$u={\frac {h\nu }{kT}}\,$

$du={\frac {h}{kT}}d\nu \,$

som gjev:

${\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\left({\frac {kT}{h}}\right)^{4}\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{3}}{e^{u}-1}}du.$

Integralet på høgresida kan gjerast på fleire måtar og svaret vert π⁴/15, og for ei perfekt svartlekamflate:

$j^{\star }=\sigma T^{4}~,~~\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}.$

Ei alternativ form av Stefan–Boltzmann-konstantne, meir grunnlegganden i fysikken:

$\sigma ={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}$

Dette beviset starta med at ein berre såg på ei lita flate. Differensierbare flater kan tilnærmast av mange små flater. Så lenge geometrien til flata ikkje fører til at svartlekamen absorberer si eiga stråling, vil den totale energien strålt ut vere summen av energiane strålt ut av kvar flate. Dette gjeld berre når temperaturen er jamn over heile flata.

Termodynamisk utleiing

Sidan energitettleiken i boksen som inneheld stråling er proporsjonal til $T^{4}$ kan ein nytte termodynamikk. Frå klassisk elektrodynamikk har ein at strålingstrykket $P$ er knytt til den indre energitettleiken:

$P={\frac {u}{3}}$

Den totale indre energien i boksen med stråling kan då skrivast som:

$U=3PV\,$

Ved å setje inn det universelle termodynamiske forholdet

$dU=TdS-PdV\,$

får ein likninga:

$dS=4{\frac {P}{T}}dV+3{\frac {V}{T}}dP$

Denne likninga kan nyttast til å utleie eit maxwellforhold. Av likninga over kan det visast at:

$\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{P}=4{\frac {P}{T}}$

og

$\left({\frac {\partial S}{\partial P}}\right)_{V}=3{\frac {V}{T}}$

Symmetrien til andrederiverte av $S$ med omsyn til $P$ og $V$ gjev så:

$4\left({\frac {\partial \left(P/T\right)}{\partial P}}\right)_{V}=3\left({\frac {\partial \left(V/T\right)}{\partial V}}\right)_{P}$

Fordi trykket er proporsjonalt til den indre energitettleiken er han berre avhengig av temperaturen og ikkje av volumet. I den deriverte på høgresida er temperaturen dermed ein konstant. Ved å evaluere dei deriverte får ein differensiallikninga:

${\frac {1}{P}}{\frac {dP}{dT}}={\frac {4}{T}}$

som gjev at

$u=3P\propto T^{4}$

Døme

Temperaturen på sola

Med lova si avgjorde Stefan temperaturen på soloverflata. Han lærte frå dataa til Charles Soret (1854–1904) at energiflukstettleiken frå sola var 29 gonger større enn energiflukstettleiken til ein oppvarma metallamell. Ein rund lamell vart plassert frå ein slik avstand frå måleapparatet at han vart sett med same vinkel som sola. Soret eistmerte at temperaturen til lamellen om lag var 1900 °C til 2000 °C. Stefan gjetta at ⅓ av energifluksen frå sola vert absorbert i jordatmosfæren, så han for energifluksen frå sola nytta han ein verdi som var 3/2 større, nemleg 29 × 3/2 = 43,5.

Nøyaktige målingar av atmosfærisk aborpsjon vart ikkje gjort før 1888 og 1904. Temperaturen Stefan nytta låg midt mellom tidlegare målingar, 1950 °C og ein absolutt termodynamisk temperatur på 2200 K. Sidan 2,57⁴ = 43,5, følgjer det frå lova at temperaturen på sola er 2,57 gonger større enn temperaturen til ein lamell, så Stefan fekk verdien 5430 °C eller 5700 K (i dag vert temperaturen på soloverflata rekna som 5780 K). Dette var den første This was the first sensible value for the temperature of the Sun. Før dette hadde temperaturen på sola vorte rekna for å vere alt frå 1800 °C til 13 millionar °C. Claude Servais Mathias Pouillet (1790-1868) kom fram til 1800 °C i 1838 ved å nytte Dulong-Petit-lova. Pouilet nytta berre halve verdien til den rette energifluksen til sola.

Temperaturen til stjerner

Temperaturen til stjerner utanom sola kan tilnærmast på liknande måte ved å handsame den emitterte energien som svartlekamstråling. Så:

$L=4\pi R^{2}\sigma T_{e}^{4}$

der L er luminositet, σ er Stefan–Boltzmann-konstanten, R er stjerneradiusen og T er effektiv temperatur. Denne formelen kan nyttast til å rekne ut den tilnærma radiusen til ei stjerne i hovudserien relativt til sola:

${\frac {R}{R_{\odot }}}\approx \left({\frac {T_{\odot }}{T}}\right)^{2}\cdot {\sqrt {\frac {L}{L_{\odot }}}}$

der $R_{\odot }$ er solradiusen og så vidare.

Med Stefan–Boltzmann-lova kan astronomar lett rekne ut radiusen til stjerner. Lova vert òg nytta i termodynamikken til svarte hol i såkalla hawkingstråling.

Temperaturen til jorda

På liknande måte kan vi rekne ut den effektive temperaturen til jorda T_E ved å rekne ut energien jorda får frå sola og energien transmittert av jorda, ved å rekne jorda som ein svart lekam:

$T_{E}\,$	$=T_{S}{\sqrt {r_{S} \over 2a_{0}}}\;$
	$=5780\;{\rm {K}}\times {\sqrt {696\times 10^{6}\;{\rm {m}} \over 2\times 149.598\times 10^{9}\;{\rm {m}}}}$
	$\approx 279\;{\rm {K}}\;,$

der T_S er temperaturen på sola, r_S er solradiusen og a₀ er avstanden mellom jorda og sola. Resultatet er at den effektive temperaturen til jordoverflata er 6 °C.

Utleiinga over er berre ei grov tilnærming, sidan ein reknar jorda som ein perfekt svartlekam. Den globale albedoen til jorda er slik at 30 % av den innkomande solstrålinga vert reflektert tilbake til verdsrommet. Ved å ta omsyn til den reduserte energien frå sola og rekne ut temperaturen for ein svartlekam som emitterer mykje av energien tilbake til verdsrommet, får ein ein «effektiv temperatur» på rundt 255 K. Samanlikna med dei 30 % som vert reflektert, vert ein mykje større del av den langbølgja strålinga frå jordoverflata absorbert eller reflektert av drivhusgassar i atmosfæren, i staden for at strålinga når ut i verdsrommet. Sidan emissiviteten vert redusert meir enn absorpsojonsevna, vert likevektstemperaturen høgare enn den enkle svartlekamutrekninga tilseier. Som følgje av dette er den midla overflatetemperaturen på joda om lag 288 K eller 15 ºC.

Sjå òg

• Wien si forskyvingslov
• Rayleigh-Jeans-lova
• Svart lekam

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Stefan–Boltzmann law» frå Wikipedia på engelsk, den 14. november 2009.
  • Wikipedia på engelsk oppgav desse kjeldene:
  • Stefan, J.: Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur, i: Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Bd. 79 (Wien 1879), S. 391-428.
  • Boltzmann, L.: Ableitung des Stefan'schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie, i: Annalen der Physik und Chemie, Bd. 22 (1884), S. 291-294