Taylorrekkje

(Omdirigert frå Taylorrekkjer)

Taylorrekkjer er i matematikk ein måte å skrive ein funksjon som ein uendeleg sum av ledd rekna ut frå verdiane til dei deriverte av funksjonen i eit enkelt punkt. Rekkja kan reknast som grensa til taylorpolynoma. Taylorrekkjer er kalla opp etter den engelske matematikaren Brook Taylor. Om rekkjene er sentrert ved null, vert rekkjene òg kalla maclaurinrekkjer etter den skotske matematikaren Colin Maclaurin.

Når graden til Taylorpolynomet stig, nærmar han seg den korrekte funksjonen. Denne figuren syner (i svart) og Taylor-tilnærmingar, polynomgrader 1, 3, 5, 7, 9, 11 og 13.
Eksponentialfunksjonen (i blått) og summen av dei første n+1 ledda av Taylorrekkja til funksjonen ved 0 (i raudt).

Definisjon endre

Taylorrekkjer av ein reell eller kompleks funksjon ƒ(x) som er uendeleg differensierbar i omgjevnaden til ein reelt eller komplekst tal a, er ei potensrekkje som i ei meir kompakt form kan skrivast:

 

der n! står for fakultetsverdien til n og ƒ (n)(a) står for n-te deriverte av ƒ vurdert i punktet a; den nullte deriverte av ƒ er definert til å vere ƒ sjølv og (xa)0 og 0! er begge definerte til å vere 1.

I spesialtilfellet der a = 0 vert rekkna òg kalla ei maclaurinrekkje.

Døme endre

Maclaurinrekkje for alle polynom er polynomet sjølv.

Maclaurinrekkje for (1 − x)−1 er den geometriske rekkja.

 

så Taylorrekkjene for x−1 ved a = 1 er

 

Ved å integrere maclaurinrekkja over finn vi maclaurinrekkja for −log(1 − x), der log er den naturlege logaritmen.

 

og den tilsvarande taylorrekkja for log(x) ved a = 1 er

 

Taylorrekkja for eksponentialfunksjonen ex ved a = 0 er

 

Utvidinga over er gyldig fordi den deriverte av ex er lik ex og e0 er lik 1. Dette gjev att leddet (x − 0)n i teljaren og n! i nemnaren for kvart ledd i den uendelege summen.

Maclaurinrekkjer for nokre vanlege funksjonar endre

Her er ei liste over fleire viktige maclaurinrekkjer. Alle desse utvidingane er gyldige for komplekse argument x.

Eksponentialfunksjonen:

 

Naturleg logaritme:

 
 


Endeleg geometrisk rekkje:

 

Uendeleg geometrisk rekkje:

 

Variantar av uendelege geometriske rekkjer:

 
 

Kvadratrot:

 

Binomrekkje (inkluderer kvadratrota for α = 1/2 og den uendelege geometriske rekkja for α = −1):

 

med generaliserte binomkoeffisientar

 

Trigonometriske funksjonar:

 
 
 
der Bs er Bernoullital.
 
 
 

Hyperbolske funksjonar:

 
 
 
 
 

Lambert sin W-funksjon:

 

Tala Bk som dukkar opp i summasjonsutvidingane til tan(x) og tanh(x) er bernoullital. Ek i utvidinga av sec(x) er eulertal.

Kjelder endre