Lineært tidsinvariant system

Eit lineært tidsinvariant system (også kjent som eit LTI-system) er eit lineært og tidsinvariant system.

LTI-system er skildra ved impulsresponsen i tidsplanet og transferfunksjonen, òg kalla systemfunksjonen, i s-planet eller Z-planet. Folding mellom impulseresponsen til eit LTI-system og eit signal i tidsplanet, svarar til multiplikasjon av transferfunksjonen til LTI-systemet.

Eigenfunksjon og eigenverdiar for eit tidsdiskret LTI-system

Eigenfunksjonen for eit LTI-system er ein funksjon som fører til at utgangssignalet frå systemet er den same same eigenfunksjonen, skalert med ein konstant. Dette kan uttrykkast

${\mathcal {H}}f=\lambda f$,

der f er eigenfunsjonen og $\lambda$ er eigenverdien (ein konstant).

Eksponentialfunksjonen $z^{n}=e^{sTn}$ er eigenfunksjonen til ein linær tidsinvariant operator, $n\in \mathbb {Z}$ er ein tidsindeks, $T\in \mathbb {R}$ er sampelintervalet og $z=e^{sT},\ z,s\in \mathbb {C}$. Dette kan synast med eit enkelt bevis.

Gå ut frå at $x[n]=\,\!z^{n}$. Utgangssignalet frå eit system med impulserespons $h[n]$ er da

$\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]\,z^{m}$,

som ved hjelp av den kommutative eigenskapen til foldningsoperatoren kan uttrykkast

$\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{(n-m)}=z^{n}\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{-m}=z^{n}H(z)$,

der

$H(z)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]z^{-m}$

berre er avhengig av parameteren z.

Så $z^{n}$ er ein eigenfunksjon til eit LTI-system av di esponsen til systemet er den same som inngangssignalet multiplisert med konstanten $H(z)$.

Eigenskapar

Kausalitet

Eit lineært tidsinvariant system er kausalt om det oppfyller fylgjande for impulsresponsen $h[n]$ til systemet:

 $h[n]=0\quad {\text{for }}n<0$.

Eit kausalt system kan med andre ord ingen respons på utgangen før det er tilført ein eksitasjon (signal) på inngangen.

Stabilitet

Føresetnaden for at eit LTI-system er stabilt et når amplituden på inngangssignalet er avgrensa er òg amplituden på utgangen avgrensa (går ikkje mot uendeleg). Dette vert kalla BIBO-stabilt. I praksis må amplituden til utgangssignalet avgrensar mellom maksimum- og minimunverdiar. Utgangen på ein spenningsforsterkar til dømes kan ikkje overstiga veridane til forsyningsspenningane

Stabilitet av tidskontinuerlege system

Føresetnaden for at eit tidskontinuerleg LTI-system er BIBO-stabilt er at impulsresponsen $h(t)$ er absolutt integrerbar, dvs. at L¹-rommet eksistrerer:

$\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)\right|\,{\mathord {\operatorname {d} }}t=\|h\|_{1}<\infty$.

Stabilitet av tidsdiskrete system

Føresetnaden for at eit tidsdiskter LTI-system er BIBO-stabilt er at impulsresponsen er absolutt summerbar, dvs. at L¹-rommet eksistrerer:

$\ \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|=\|h\|_{1}<\infty$.