Laplace-transformasjon

Laplacetransformasjon er ein matematisk operasjon som overfører ein funksjon frå tidsplanet til eit komplekst plan, kalla -planet[1][2][3]. Ved å gjere det vil enkelte matematiske operasjonar kunne bli enklare å utføre. Dette gjeld spesielt derivasjon, integrasjon og foldning. Transformasjonen er kalla opp etter Pierre-Simon Laplace.

Den tidsdiskrete varianten av laplace-transformasjonen er kjend som Z-transformasjonen.

DefinisjonEndra

Den einsidige laplacetransformasjonen er definert:

 ,

der   er ein funksjon (eller eit signal) i tidsplanet,   er kompleks frekvens,   er den imaginære eininga,   er vinkelfrekvensen (rad/s) og σ er reell. I eit stabilt system er σ negativ, og tilsvarar demping. Innan matematikk og fysikk er det vanleg å nytta symbolet   for den imaginære eininga, i staden for  . I samband med ingeniørfag nyttar ein som oftast symbolet  , for å unngå forveksling med elektrisk straum, som òg har symbolet  .

Tosidig Laplace-transformEndra

Ein kan òg definera ein to-sidig Laplace-transformasjon, som

 

Invers Laplace-transformasjonEndra

Den inverse Laplace-transformasjonen transformerer frå det komplekse frekvensplanet ( -planet) attende til tidsplanet[4]:

 

der   er eit reelt tal større enn den største av realdelane til alle singularitetane til  , og   er avgrensa på integrasjonsvegen.

Operasjonar i s-planetEndra

I  -planet vert derivasjon erstatta av multiplikasjon med  , og integrasjon vert erstatta av divisjon med  , noko som er mykje enklare operasjonar.

Foldning av dei to signala   og   vert i tidsplanet utført som

 

der   er foldningsoperatoren, som er ein kompakt notasjon for foldning. I  -planet tilsvarar dette multiplikasjon:

 

der   og   er Laplacetransformasjonane av   respektivt  , som er enklare å utføra. På same vis tilsvarar foldning i  -planet multiplikasjon i tidsplanet.

Praktisk brukEndra

Laplacetransformasjon spelar ein vikig rolle i samband med analyse og syntese av lineære dynamisk system. innan signalhandsaming[4][5][6] og reguleringsteknikk[7][8].

Sjå ògEndra

ReferansarEndra

  1. Appel, W., Mathématiques pour la physique et les physiciens, 4. utg., H&K Editions, 2008.
  2. Arfken, B.B. og Weber, H.J., Mathematical methods for physicists, 6. utg., Elsvier Academic Press, 2005.
  3. Dyke, P.P.G., An introduction to Laplace transforms and Fourier series, Springer, 2001.
  4. 4,0 4,1 Kuo, F.F., Network analysis ans syntesis, John Wiley & Sons., 2. utg., 1966.
  5. Lathi, B.P., Linear systems and signals, Oxford Univ. Press, 2010.
  6. Haykin, S. og van Veen, B., Signals and systems, John Wiley & Sons, 1999.
  7. Balken, J.G., Reguleringsteknikk, bind 1, Tapir, 1977.
  8. Kuo, B.C., Automatic control systems, 6. utg., Prentice-Hall, 1991.