Laplace-transformasjon

Laplacetransformasjon er ein matematisk operasjon som overfører ein funksjon frå tidsplanet til eit komplekst plan, kalla $s$-planet. Ved å gjere det vil enkelte matematiske operasjonar kunne bli enklare å utføre. Dette gjeld spesielt derivasjon, integrasjon og foldning. Transformasjonen er kalla opp etter Pierre-Simon Laplace.

Den tidsdiskrete varianten av laplace-transformasjonen er kjend som Z-transformasjonen.

Definisjon

Den einsidige laplacetransformasjonen er definert:

$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt$,

der $f(t)$ er ein funksjon (eller eit signal) i tidsplanet, $s=\sigma +j\omega$ er kompleks frekvens, $j={\sqrt {-1}}$ er den imaginære eininga, $\omega$ er vinkelfrekvensen (rad/s) og σ er reell. I eit stabilt system er σ negativ, og tilsvarar demping. Innan matematikk og fysikk er det vanleg å nytta symbolet $i$ for den imaginære eininga, i staden for $j$. I samband med ingeniørfag nyttar ein som oftast symbolet $j$, for å unngå forveksling med elektrisk straum, som òg har symbolet $i$.

Tosidig Laplace-transform

Ein kan òg definera ein to-sidig Laplace-transformasjon, som

$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt.$

Invers Laplace-transformasjon

Den inverse Laplace-transformasjonen transformerer frå det komplekse frekvensplanet ($s$-planet) attende til tidsplanet:

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}={\frac {1}{j2\pi }}\int _{\sigma _{1}-j\infty }^{\sigma _{1}+j\infty }F(s)e^{st}\,ds,$

der $\sigma _{1}$ er eit reelt tal større enn den største av realdelane til alle singularitetane til $F(s)$, og $F(s)$ er avgrensa på integrasjonsvegen.

Operasjonar i s-planet

I $s$-planet vert derivasjon erstatta av multiplikasjon med $s$, og integrasjon vert erstatta av divisjon med $s$, noko som er mykje enklare operasjonar.

Foldning av dei to signala $x(t)$ og $h(t)$ vert i tidsplanet utført som

$y(t)=x(t)*h(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)h(t-\tau )d\tau ,$

der $*$ er foldningsoperatoren, som er ein kompakt notasjon for foldning. I $s$-planet tilsvarar dette multiplikasjon:

$Y(s)=X(s)H(s),$

der $X(s)$ og $H(s)$ er Laplacetransformasjonane av $x(t)$ respektivt $h(t)$, som er enklare å utføra. På same vis tilsvarar foldning i $s$-planet multiplikasjon i tidsplanet.

Praktisk bruk

Laplacetransformasjon spelar ein vikig rolle i samband med analyse og syntese av lineære dynamisk system. innan signalhandsaming og reguleringsteknikk.

Sjå òg

• Fouriertransformasjon
• Z-transformasjon