Z-transformasjon

Z-transformasjonen (frå engelsk Z-transform) er ei lineæravbilding som konverterer tidsdiskrete signal (ein sekvens av reelle eller komplekse tal) over til ein frekvensdomenerepresentasjonkompleks form gjeven i eit domene kalla Z-domenet. Z-transformasjonen opnar opp for å gjere analyse av ei større mengde av signal enn det fouriertransformasjonen er i stand til ettersom fourierdomenet er ei delmengde av Z-domenet.

Illustrasjon av Z-domenet, som Z-transformasjonen avbildar til. Domenet er av ein kompleks variabel Z. Den blå einingssirkelen er fourierdomenet. DC er frekvens 0, fs/2 er foldingfrekvensen

Innanføre signalhandsaming gjev Z-transformasjonen òg eit matematisk grunnlag for analyse og design av digitale filter. Transferfunksjonen og difor òg frekvensresponsen til tidsdiskrete system/filter kan uttrykkjast på fleire måtar ved hjelp av Z-transformasjonen, som rasjonale transferfunksjonar, på pol-nullpunktform, tilstandsromform, etc.

Den tidskontinuerlege varianten av Z-transformasjonen, som tek utgangspunktet i tidskontinuerlege funksjonar i staden for tidsdiskrete, er kjend som Laplace-transformasjonen.

DefinisjonEndra

Z-transformasjonen av eit tidsdiskret signal   med intervall   er definert som

 

der   er eit heiltal og   er eit komplekst tal, der   er distansen frå origo,   er vinkelfrekvensen og   er sampelintervallet. Det særskilde høvet for når   vert kalla tidsdiskret fouriertransform (DTFT).

Om   for alle  , dvs det ikkje finst eit konvergensområde, så vert det sagt at Z-transformasjonen av signalet   ikkje eksisterer.

MotiveringEndra

Z-transformasjonen er nært relatert til fouriertransformasjonen. Under særskilde føresetnadar kan ein motivere Z-transformasjonen ut av fouriertransformasjonen, samstundes som ein òg kan vise at fourierdomenet er ei delmengde av Z-domenet.

Fouriertransformasjonen for eit tidsdiskret signal x[n] er definert som

 ,

gjeve at signalet x[n] er absolutt summerbart

 .

Mange signal oppfyller ikkje dette kravet og då eksisterer ikkje fouriertransformasjonen for signalet. Til dømes er det ikkje mogleg å analysere ustabile LTI-system med fouriertransformasjonen ettersom impulsresponsen for ustabile LTI system ikkje oppfyller kravet ovanføre om absolutt summerbarhet av signalet.

Ei løysing for at inngangssignalet skal oppfylle det ovannemnde kravet er at inngangssignalet x[n] vert muliplisert med noko så det konvergerer mot ein verdi. Meir presist, at  . Då vil kravet om absolutt summerbarhet av signalet vere oppfyllt for særskilde verdiar for  . Med andre ord vert transformasjonen definert til å vere;

 

Om ein nå definerer at  er eit komplekst tal, vert dette sjølve definisjonen av Z-transformasjonen.

EigenskaparEndra

 
  • Tidsforskyving av eit signal med med   steg er det same som å multiplisere Z-transformasjonen med  .
 
 
 

Z-domenetEndra

Z-domenet er kodomenet til Z-transformasjonen, med andre ord vektorrommet som Z-transformasjonen avbildar til. Det vert nytta til både analyse av signal og filter og design av filter. Til desse føremåla vert nullpunkt, polar og ROC definerte.

NullpunktEndra

Mengda av alle verdiar   i Z-domenet som er 0, er kjend som nullpunkt (frå engelsk; «zeros»).

 

Eit filter som berre har nullpunkt og ingen polar er kjent som eit FIR-filter.

PolarEndra

Mengda av alle verdiane   i Z-domenet som er uendeleg, er kjend som polar (frå engelsk; «poles»).

 

Om eit filter har polar er det kjent som eit IIR-filter.

ROCEndra

 
ROC for kausale signal der ROC er vist i blått, einingssirkelen som ein stipla grå sirkel og sirkelen |z| = 0,5 som ein svart sirkel.

Konvergensradius eller region of convergence, ROC, er mengda med ikkje-uendelege verdiar   i det komplekse planet. Inputsignalet til eit system/filter vil berre konvergere og såleis vere definert for særskilde verdiar for   når  . Summen må gå mot eit tal «raskt nok» skal det konvergere, og «raskt nok» er avgjort av parameteren  , eller meir presist  .

 

ROC vert nytta i analysen av både signal og filter. Antikausale signal har ROC som går frå ytste pol og inn til origo. Kausale signal har komplementet av dette området som inneheld endeløysa. Om signalet både har ein kausal del og ein antikausal del så er ROC snittet av ROC-ane for kvar av delane, altså eit tynt belte som går kring origo.

Det er ein unik korrespondans mellom ein sekvens og Z-transformasjonen av han, om ROC vert medrekna.

Design av filter i Z-domenetEndra

I Z-domenet vert eit filter designa ved å leggje til polar og nullpunkt i transferfunksjonen   knytt til filteret. Polar hever fram magnituderesponsen til filteret/systemet medan nullpunkt undertrykkjer magnituderesponsen. For å undertrykkje frekvensen plasserer ein eit nullpunkt på einingssirkelen på vinkelen som svarer til frekvensen. For å heve fram frekvensar må ein plassere ein pol inni einingssirkelen nær frekvensen ein skal heve fram.

 

Røtene til polynomet i teljaren utgjer nullpunkta i  , medan røtene til polynomet i nemnaren utgjer polane til  . Faktoriserer ein polynoma, så får ein:

 

Det å leggje til ein pol eller eit nullpunkt vil svare til å leggje til ei rot i det tilsvarande polynomet, med andre ord gonga inn eit uttrykk på forma  , der   er magnituden for nullpunktet/polen og   utgjer vinkelen han har i Z-domenet (frekvensen han verker på). Her er   ein konstant som avgjer kor mykje nullpunkta skal vere vektlagde, altså kor mykje dei undertrykkjer frekvensane.

For å filtrere eit signal   med filteret kan ein velje å multiplisere fouriertransformasjonen av impulsresponsen direkte med fouriertransformen av det aktuelle signalet  . Eit anna alternativ er å ta invers Z-transformasjon av filteret ein nå har designa i Z-domenet og få filteret i tidsdomenet som ei differenslikning og nytte differenslikninga direkte på signalet  . Invers Z-transformasjon av filteret gjev:

 

 

  

Og nyttar Z-transformeigenskapen om at  :

 

Og får tidsrepresentasjonen til filteret som ein har designa (differenslikninga):

 

Design av filtereigenskaparEndra

For at filteret skal vere reellt må alle polar og nullpunkt òg ha ein tilsvarande komplekskonjugert i Z-domenet.

For kausalitet må ROC gå frå einkvan sirkel og ut til endeløysa i Z-domenet, som er ekvivalent med at   for   i tidsdomenet. Dette er eit krav for filter som skal operere i sanntid.

For stabilitet må ROC i Z-domenet innehalde einingssirkelen, som er ekvivalent i tidsdomenet med at impulsresponsen er absolutt summerbar. Dette må gjelde for å kunne implementerast på datamaskina. For FIR-filter er ein alltid garantert dette kravet ettersom eit slikt filter ikkje inneheld polar.

For lineær fase må det vere symmetri for polar og nullpunkt om einingssirkelen i Z-domenet. Dette svarar i tidsdomenet til einkvan symmetri i impulsresponsen.

Sjå ògEndra

BakgrunnsstoffEndra