Transferfunksjon

Transferfunksjon, systemfunksjonen eller overføringsfunksjon definerer eit kontinuerleg lineært system i s-planet, eller eit diskret lineært system z-planet. Både s- og z-planet er synonyme med frekvensplanet, der frekvensen generelt er kompleks, slik at han òg modellerer demping. Føremonen med å arbeida med transferfunksjonar og signal i -planet eller -planet er at mange matematiske operasjonar er enklare i -planet og -planet enn i tidsplanet. Transferfunksjonar spelar ei viktig rolle i samband med signalhandsaming, reguleringsteknikk, telekommunikasjon, elektroakustikk, elektronikk, osb.

Kontinuerleg systemEndra

 
Samanhengen mellom impulsrespons og transferfunksjon, for eit tidskontinuerleg system.

Transferfunksjonen til eit tids-kontinuerleg SISO-system er generelt ein rasjonal funksjon av forma [1][2]

 
 
 

der   er Laplace-transforma til utgangssignalet   og   er Laplace-transforma til inngangssignalet  . Når transferfunksjonen er kjend kan vi finna utgangssignalet som produktet av transferfunksjonen og Laplace-transforma av inngangssignalet:

 

I tidsplanet finn ein utgangssignalet som foldinga av impulsresponsen   og inngangssignalet  :

 

Multiplikasjon er ein enklare operasjon enn folding, så det er som oftast lettare å arbeida med transferfunksjonar enn med impulsresponsar og signal i tidsplanet.

Polar og nullpunktEndra

Om vi faktoriserer tellar- og nevnar-polynomena   respektivt   får vi   på forma:

 

Når   er lik en av røtene til tellarpolynomet (  ser vi at  . Dei   komplekse verdiene  , som resulterer i at   blir lik null, blir difor kalla «nullpunkta» til transferfunksjonen  . Tilsvarende ser vi at når   er lik en av røtene til nevnerpolynomet (når   går verdien til   mot  . Røtene til nevnarpolynomet blir kalla «polane» til transferfunksjonen. Transferfunksjonen   er fullstendig bestemt av polene og nullpunktene, saman med konstanten  .

Diskret systemEndra

 
Samanhengen mellom impulsrespons og transferfunksjon, for eit tidsdiskret system.

Transferfunksjonen til eit tids-diskret LTI-system SISO-system har forma

 
 
 

der   er Z-transformasjonen til utgangssekvensen   og   er Z-transformasjonen til inngangssekvensen   (Med sekvens meiner ein sampla signal). Når transferfunksjonen er kjend kan vi finna utgangssignalet som produktet av transferfunksjonen og Z-transforma av inngangssekvensen:

 

I tidsplanet finn ein utgangssekvensen som foldinga av impulsresponsen   og inngangssignalet  :

 

Føremonen med å arbeida i  -planet er den same som for  -planet, at matematiske operasjonar er enklare enn i tidsplanet.

Polar og nullpunktEndra

Om vi faktoriserer tellar- og nevnar-polynomena   respektivt   får vi   på forma:

 

Når   er lik en av røtene til tellarpolynomet (  ser vi at  . Dei   komplekse verdiene  , som resulterer i at   blir lik null, blir difor kalla «nullpunkta» til transferfunksjonen  . Tilsvarende ser vi at når   er lik en av røtene til nevnerpolynomet (når   går verdien til   mot  . Røtene til nevnarpolynomet blir kalla «polane» til transferfunksjonen. Transferfunksjonen   er fullstendig bestemt av polene og nullpunktene, saman med konstanten  .

ReferansarEndra

  1. Kuo, F.F., Network analysis ans syntesis, John Wiley & Sons., 2. utg., 1966.
  2. Lathi, B.P., Linear systems and signals, Oxford Univ. Press, 2010.

Sjå ògEndra