Parallellaksiomet

Parallellaksiomet (òg kalla parallellpostulatet eller Euklids femte postulat) er det femte aksiomet i euklidsk geometri, oppkalla etter den greske matematikaren Euklid. Aksiomet er meir kontroversielt enn andre aksiom sidan det ikkje er like enkelt å formulere og innbyrdes ikkje av alle rekna for å vere så sjølvklårt som ein ofte vil at eit aksiom skal vere. Euklid prøvde sjølv utan hell å bevise parallellaksiomet ut frå dei øvrige fire. Aksiomet seier at dersom to rette linjer vert skoren av ei tredje, vil dei to skjere kvarandre på den sida av den tredje kor summen av dei indre vinklane er mindre enn 180° (to rette vinklar).

Viss summen av dei indre vinklane α og β er mindre enn 180°, vil dei to uendeleg lange rette linjene skjere kvarandre på den sida.

Avhengig av om ein forkastar parallellaksiomet eller ikkje, og i så fall om ein erstattar det med noko anna, får ein vidare det som blir kalla ulike geometriar. Dei ulike geometriane er altså ulike teoriar, og ei bestemd setning kan vere sann i ein teori og falsk i ein annan.

Det finst ulike formuleringar av parallellaksiomet, men Playfairs aksiom som vart formulert av J. Playfair, er ein ekvivalent versjon som seier at det gjennom kvart og eit gjeve punkt berre kan trekkjast éi linje parallell med ei gjeven linje. Denne formuleringa er nok den vanlegaste.

Playfairs formulering vart rekna som sjølvinnlysande opp til 1800-talet, då dei ikkje-euklidske geometriane vart utvikla. Her vart alle dei øvrige aksioma frå euklidsk geometri bevarte, medan parallellaksiomet vart forkasta. Om ein tek til seg og lever etter denne idéen får ein euklidsk geometri, om ein forkastar han får ein ikkje-euklidsk geometri.

Nokre av dei setningane som er ekvivalente med parallellaksiomet synst ved første augekast ikkje å vere relatert til parallelitet. Nokre lyder så sjølvinnlysande at dei umedviten vart akseptert som gyldige av folk som hevda at dei hadde bevist parallellaksiomet ut frå Euklids øvrige aksiom.

Nokre av desse setningane lyder slik:

1. Summen av vinklane i ein trekant er 180°.
2. Det finst ein trekant dersom vinklane til saman er 180°.
3. Summen til vinklane er den same i kvar og ein trekant.
4. Det finst ei rekkje trekantar som er like, men ikkje kongruente.
5. Kvar og ein trekant kan omskrivast av ein sirkel.
6. Viss tre vinklar i ein firkant er rette vinklar, så er den fjerde vinkelen òg rett.
7. Det finst ein firkant med fire rette vinklar.
8. Det finst to rette linjer som har ein fast konstant avstand frå kvarandre.
9. To linjer som er parallelle med den same tredje linja, er òg parallelle med kvarandre.
10. Gjeven to parallelle linjer, så vil kvar og ei linje som skjer ei av dei òg skjere den andre.
11. I ein rettvinkla trekant er kvadratet på hypotenusen lik summen av kvadrata på dei to andre sidene (Pythagoras' læresetning).
12. Det finst inga øvre grense for arealet til ein trekant.
13. Toppvinklane til Saccheri-firkanten er 90°.

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Parallellaksiomet» frå Wikipedia på bokmål, den 18. september 2011.