Omdreiingslekam

Ein omdreiingslekam eller rotasjonslekam er i geometrien ein lekam som ein får ved at ein plan figur vert dreidd om ein akse i planet til figuren. Overflata til ein omdreiingslekam er derfor ei omdreiingsflate.

Omdreiing av ei kurve

Døme på omdreiingslekamar er kule og ellipsoide, sylinder og kjegle (som begge oppstår ved rotasjon av ei rett linje), omdreiingshyperboloide, paraboloide og torus (sirkelring), som ein får ved at ein sirkel vert rotert om ein akse som ikkje skjer sirkelen.

Paul Guldin lagde reglar for korleis ein skal utrekne overflata og volumet til omdreiingslekamar.

Volum

Volumet til ein omdreiingslekam vert utrekna som integralet av snittflata til omdreiingslekamen frå byrjinga til slutten. Denne er lik funksjonsverdien i kvadrat ganga med pi (og samsvarar arealet til ein sirkel som funksjon av radiusen).

Volumet $V\,$ av omdreiingslekamen av $f(x)\,$ mellom a og b, rotert rundt x-aksen, er altså

$V=\pi \int _{a}^{b}(f(x))^{2}dx$

Volumet $V\,$ av omdreiingslekamen av $f(x)\,$ mellom a og b, rotert rundt y-aksen er

$V=2\pi \int _{a}^{b}x(f(x))dx$

I teorien kan ein omdreiingslekam som er uendeleg lang likevel ha eit endeleg volum.

Arealet $A\,$ av omdreiingslekamen er

$A=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,dx$

Kjelder

– matematikk «omdreiningslegeme – matematikk» i Store norske leksikon, snl.no.

• Delar av denne artikkelen bygger på «Rotationskropp» frå Wikipedia på svensk, den 13. september 2011.