Tilstandsromrepresentasjon

(Omdirigert frå Tilstandsrom)

Tilstandsrom er ein matematisk representasjon av lineære system. Tilstandane til systemet vert representert med tilstandsvariablar som relater inngangs- og utgangs-signala med fyrste ordens differensiallignangar. For å forenkla notasjonen vert tilstandsvariablane og inngangs- og utgang-signala uttrykte med matrise-vektor notasjon. Dette fører til ein kompakt of oversiktleg representasjon, som er uavhengig av antal inn- og ut-gangar.

Tilstandsrom-representasjon kan nyttast både for lineære og ulineære system, med vilkårlege starttilstandar. Omgrepet «tilstandsrom» viser til ein vektorrom, der tilstandsvariablane til systemet er representert ved aksane til rommet.

TilstandsvariablarEndra

 
Tilstandsrommodell

Når eit fysisk system vert representert på tilstandsvariaberform er antal tilstandsvariablar lik med antal energilagrande element i det fysiske systmet. Når elektriske system vert representeret på tilstandsromform er antal tilstandsvariablar lik med antal energilagrande element (spolar og kondensatorar) i det elektriske systemet. Tilsvarande, når eit mekanisk system er representert på tilstandsromform er antal tilstandsvariablar lik med antal energilagrande massar og fjører.

Tilsrandsvariablane må vera lineært uavhengige (ein tilstadsvariabel kan ikkje vera ein lineær kombinasjon av andre tilstandsvariablar). Det minste antal tilstandsvariablar, N, som skal til for å representera eit system er som oftast lik orden til differensiallikninga som definerer systemet, eller til orden til nemnarpolynomet når systemet er representert på transferfunksjon-form, redusert til ein ekte brøk.

Lineære systemEndra

Den generelle representasjonen av lineære system, men   inngangar,   utgangar og   tilstandsvariablar kan skrivast på forma:

 
 

der

 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 
  er tilstandsvektoren,
  er inngangsvektoren (eller kontrollvektoren),
  er utgangsvektoren (eller observasjonsvektoren)
  er systemmatrisa (òg kalla tilstandsoppdateringsmatrisa),
  er inngangsmatrisa,
  er utgangsmatrisa og
  er direktekoplingsmatrisa.

I praksis er   ofte ei nullmatrise og systemet har ikkje noko direkte kopling frå inngang til utgang.

I denne generelle representasjonen er alle matrisene tidsvarierande. Tidsvariabelen   kan vera tids-kontinuerleg,  , eller tids-diskret,  . I det siste tilfellet er  , der   er sampelintervalet.

SystemtyparEndra

Ulike system kan representerast på tilstandsromform:

Systemtype Tilstandsrommodell
Tids-kontinuerleg tids-invariant  
 
Tids-kontinuerleg tids-variant  
 
Tids-diskret tids-invariant  
 
Tids-diskret tids-variant  
 

Tids-kontinuerleg tids-invariant i Laplace-planet
 
 

Tids-diskret tids-invariant i z-planet
 
 

I dei to siste tilfella har ein gått ut frå at starttilstanden til systemet er null:  .

Kontrolerbarheit og observerbarheitEndra

Ein tidskontinuerleg tidsinvariant tilstandsrommodell er kontrollerbar om og berre om

 

Ein tidskontinuerleg tidsinvariant tilstandsrommodell er observerbar om og berre om

 

Transferfunksjon-representasjonEndra

Transferfunksjonen til eit tidskontinuerleg tidsinvariant system

 

kan finnast ved å Laplace-transformasjoon

 
 
 

Ein sett så uttrykket for   inn i utgangslikninga (eller opservasjonslikninga):

 
 

som gjev transferfunksjonen

 

Denne MIMO-transferfunksjonen har dimensjon   og inneheld   SISO-transferfunskjonar, mellom dei   inngangane og dei   utgangane.

StabilitetEndra

Når ein studerer stabiliteten til eit tidskontinuerleg, tidsinvariant system, er det enklast å representera det som ein faktorisert transferfunksjon:

 

Nemaren til tranferfunksjonen   er lik det karakteristiske polynomet til tilstandsmatrisa

 .

Røtene til dette polynomet (eigenverdiane) er polane til systemet. Om desse ligg på innsida av einingssirkelen i z-planet er systemet stabilt og om dei ligg einingssirkelen er det marginalt stabilt. Om minst ein pol ligg på utsida av einingssirkelen er systemet ustabilt. Ein alternativ måte for å avgjera om systemet er stabilt er å nytta Lyapunov sitt stabilitetsteorem.

Nullpunkta til systemet (røtene til tellarpolynomet i transferfunksjonen) avgjer om systemet har minium-, maksimum-, eller blanda-fase, men nullpunkta påverkar ikkje stabiliteten til systemet.

Om det førekjem pol-nullpunkt-kanselleringar kan eit lineært system vera BIBO stabilt (Bounded Input Bounded Output) sjølv om det ikkje er internt stabilt.

BibliografiEndra

  • Chu, C.K. og Chen, G., Signal processing and systems theory: Selected topics, Springer-Verlag, 1992.
  • Kailath, T., Linear systems, Prentics-Hall, 1980.
  • Kuo, B,C,, Automatic contol systems, Prentice-Hall, 6. utg., 1991.
  • Ogata, K, Discrete control systems, Prentice-Hall, 1987.

Sjå ògEndra