Venn-diagram

Venn-diagram er illustrasjonar som blir brukt i ei grein av matematikken som blir kalla mengdelære. Dei blir brukt for å vise dei matematiske eller logiske sambanda mellom ulike grupper av element (mengder).

Eit Venn-diagram viser alle dei logiske sambanda mellom mengdene. Euler-diagram er liknande, men dei treng ikkje vise alle sambanda.

Døme

Mengdene A og B

Den oransje sirkelen (mengd A) kan representere, til dømes, alle levande vesen som er tobeinte. Den blå sirkelen, (mengd B) kan representere alle levande vesen som kan fly. Det områdde der den blå og den oransje sirkelen overlappar (som blir kalla skjæringsfeltet) inneheld alle levande vesen som både kan fly og som har to bein – til dømes papegøyar. (Tenk deg kvar enkelt type vesen som eit punkt ein stad i diagrammet).

Menneske og pingvinar ville vore i den oransje sirkelen, i det området som ikkje overlappar med den blå sirkelen. Myggar har seks bein, og flyr, så punktet for myggar ville vere i den delen av den blå sirkelen som ikkje overlappar med den oransje. Ting som ikkje har to bein og ikkje kan fly (til dømes kvalar og klapperslangar) ville alle saman vorte representert av punkt utanfor begge sirklane. Teknisk sett kan Venn-diagrammet tolkast som «sambanda mellom mengd A og mengd B som kan ha nokre (men ikkje alle) element felles».

Det samla arealet av mengdene A og B blir kalla unionen av mengdene A og B. Unionen i dette tilfellet inneheld alle ting som anten har to bein, eller som flyr, eller begge delar. At sirklane overlappar inneber at unionen av dei to mengdene ikkje er tom – at det faktisk er vesen som er i både den oransjen og den blå sirkelen.

Nokre gonger blir eit rektangel (som blir kalla universalmengda) teiknet omkring Ven-diagrammet for å vise rommet for alle moglege ting. Som tidlegare nemnde ville ein kva vorte representert av eit punkt som ikkje er i unionen men som er i universet (av levande vesen, eller av alle ting, avhengig av korleis ein vel å definere universalmengda for akkurat det diagrammet).

Liknande diagram

Eulerdiagram

Eit euler-diagram

Euler-diagram har likskapar med Venn-diagram, men treng ikkje vise alle moglege samband. I diagrammet til høgre er ei mengd fullt inni ein annan. La oss seie at mengd A er alle dei ulike typane ost som finst i verda og mengd B er alle matvareslag som finst i verda. Frå diagrammet kan du sjå at alle ostar er matvarer, men ikkje alle matvarer er ostar. La oss vidare ta at mengd C (la oss seie alle ting laga av metall) ikkje har nokre element (medlemmar av mengda) blir felt med mengd B, og utor det kan vi logisk påstå at ingen matvareslag er metallting (og vice versa). Diagrammet kan tolkast som:

Mengd A er ei ekte delmengd av mengd B, men mengd C har ingen element felles med mengd B. Eller, som ein syllogisme

Alle A-ar er B-ar
Ingen C-ar er B-ar
Difor er ingen C-ar A-ar.
Difor er ingen A-ar C-ar.

Johnston-diagram

Johnston-diagram for påstanden Korkje A eller B er sanne

Johnston-diagram blir brukt for å illustrere påstandar i proposisjonslogikk slik som Korkje A eller B er sanne og er ein visuell måte å illustrere sanningstabellar på. Dei kan vere identiske utsjåandemessig med Venn-diagram, men dei representerer ikkje nokre objektmengder.

Karnaugh-kart

Karnaugh-kart eller veitch-diagram er ein annan måte å visualisere boolsk algebra-uttrykk.

Peirce-diagram

Peirce-diagram, utforma av Charles Peirce, er utvidingar av Ven-diagram som inkluderer informasjon om eksistensielle påstandar, fråskiljande informasjon, sannsyn og relasjonar. sine/^{[daud lenkje]}.

Utvidingar til høgare mengde mengder

Venn-diagram har gjerne tre mengder. Venn var oppsett på å finne symmetriske figurar...elegante i seg sjølv som representerte høgare mengde mengder og han utforma eit firemengdersdiagram ved bruk av ellipser. Han gav òg ein konstruksjon for Ven-diagram for kvart og ei mengd kurvar, der kvar ny kurve er innfelt i dei tidlegare kurvane, byrjande med 3-sirkelsdiagrammet.

Edwards sine Venn-diagram

Edwards' Venn-diagram med tre mengder	Edwards' Venn-diagram med fire mengder
Edwards' Venn-diagram med fem mengder	Edwards' Venn-diagram med seks mengder

A. W. F. Edwards gav ein fin konstruksjon for høgare mengde mengder som innehar einskilde symmetriar. Konstruksjonen hans kan oppnåast ved å projisere Venn-diagrammet på ein sfære. Tre mengder kan enkelt representerast ved å ta tre halvkuler i rette vinklar (x≥0, y≥0 og z≥0). Ei fjerde mengd kan representerast ved å ta kurvar lik dei du finn på sømmen på ein tennisball som snor seg opp og ned rundt ekvator. Den resulterande mengda kan så projiserast tilbake til planet for å gje eit tannhjul-diagram med aukande mengder tenner. Desse diagramma vart utforma under konstruksjonen av eit glasmalerivindauge til minne om Venn.

Andre diagram

Edwards sitt Venn-diagram er topologisk ekvivalente med diagram utforma av Branko Grünbaum som var basert omkring polygon som skjer kvarandre med aukande mengder sider. Dei er òg 2-dimensjonale representasjonar av hyperkuber.

Smith utforma liknande n-mengdediagram ved bruk av sinus-kurvar med likninga y=sin(2ⁱx)/2ⁱ, 0≤i≤n-2.

Charles Lutwidge Dodgson (òg kjent som Lewis Carroll) utforma eit fem-mengds diagram .

Opphav

Glasmåeri med Venn-diagram i Gonville and Caius College i Cambridge

John Venn var ein britisk filosof og matematikar på 1800-talet som introduserte Venn-diagrammet i 1881.

Eit glasmålerivindauge på Caius College på Cambridge-universitet er til minne om oppfinninga hans.

Kjelder

Denne artikkelen bygger på «Venn-diagram» frå Wikipedia på bokmål, den 20. september 2011.
- Wikipedia på bokmål oppgav desse kjeldene:
A Survey of Venn Diagrams av F. Ruskey og M. Weston, er ein omfattande nettstad med mykje nyare forsking og mange figurar.
I. Stewart Another Fine Math You've Got Me Into 1992 kap.4
A.W.F. Edwards. Cogwheels of the Mind: the story of Venn diagrams, Johns Hopkins University Press, Baltimore and London, 2004.
Anmeldelse av Cogwheels of the Mind Arkivert 2006-06-22 ved Wayback Machine.

Bakgrunnsstoff

What is a Venn diagram?, frå oversiktssida (under).
LogicTutorial.com Arkivert 2005-08-27 ved Wayback Machine. - interaktivt Johnston-diagram
Lewis Carroll's logiske spel – Venn vs. Euler på cut-the-knot
Ei oversikt over Venn-diagram
Venn-diagram på cut-the-knot
Områdeidentifisering i Venn-diagram på cut-the-knot
Glasmålerivindauge

Verktøy til å lage Venn-diagram

Microsoft PowerPoint
VennDiagrams
Winvenn Arkivert 2020-03-21 ved Wayback Machine.
DrawVenn Arkivert 2007-07-09 ved Wayback Machine.
VennDiagram.tk Arkivert 2011-10-20 ved Wayback Machine.

Verktøy til å lage euler-diagram

DrawEuler Arkivert 2007-07-09 ved Wayback Machine.