Opna hovudmenyen

Linearisering er ein metode i matematikk for å finne ei lineær tilnærming til ein funksjon ved eit visst punkt. I studiet av dynamiske system er linearisering ein metode for å undersøke stabiliteten til eit likevektspunkt i eit system av ikkje-lineære differensiallikningar eller diskrete dynamiske system.[1]. Denne metoden vert nytta i felt som ingeniørvitskap, fysikk, økonomi og økologi.

Linearisering av ein funksjonEndra

Lineariseringar av ein funksjon er linjer som ein vanlegvis nyttar for utrekning. Linearisering er ein effektiv metode for å tilnærme resultatet av ein funksjon   ved alle   basert på verdien og hellinga til funksjonen ved  , om f(x) er kontinuerleg på   (eller  ) og at   er nær  . Kort sagt, linariseringa tilnærmar resultatet til ein funksjon nær  .

Til dømes veit du kanskje at  . Men utan ein kalkulator, kva vil vere ei god tilnærming av  ?

For alle funksjonar  , kan   tilnærmast om han ligg nær eit kjend kontinuerleg punkt. Det mest grunnleggande kravet er at der   er lineariseringa av f(x) at x = a er  . Punkt-hellings-forma av ei likning dannar ei likning for ei linje, om ein har punktet   og hellinga  . Den generelle forma for denne likninga er:  .

Ved å nytte punktet  , vert   til  . Fordi kontinuerlege funksjonar er lokalt lineære, er den beste hellinga å erstatte hellinga til linjetangenten til   ved  .

Sidan lokal linearitet gjeld for dei fleste punkta vilkårleg nær til  , vil dei som ligg relativt nær fungere bra for lineære tilnærmingar. Trass alt bør hellinga   vere i det mest nøyaktige tilfellet lik hellinga til tangentlinja ved  .

 
Ei tilnærming av f(x) ved (x, f(x))

Visuelt syner figuren tangentlinja til   ved x. Ved  , der   er ein liten positiv eller negativ verdi, er f(x+h) særs nær verdien til tangentlinja i punktet  .

Den siste likninga for lineariseringa av ein funksjon ved   er:

 

For   er  . Den deriverte til   er   og hellinga til   ved   er  .

DømeEndra

For å finne   kan vi nytte det vi veit,  . Lineariseringa til   ved   er  , sidan funksjonen   definerer hellinga til funksjonen   ved  . Ved å setje inn  , vert lineariseringa til 4  . I dette tilfellet er  , så   er tilnærma  . Den verkelege verdien er nær 2.00024998, så lineariseringa har ein relativ feil på mindre enn ein milliondel av ein prosent.

Linearisering av ein multivariabel funksjonEndra

Likninga for lineariseringa av ein funksjon   i eit punkt   er:

 

Den generelle likninga for lineariseringa av ein multivariabel funksjon   i eit punkt   er:

 

der   er vektoren av variablar og   er lineariseringa til punktet ein undersøker.[2].

Bruk av lineariseringEndra

Linearisering gjer det mogeleg å nytte metodar for å studere lineære system til å analysere korleis ikkje-lineære funksjonar oppfører seg nær eit visst punkt. Lineariseringa til ein funksjon er det førsteordens leddet til taylorutvidinga rundt punktet ein undersøker. For eit system definert av likninga

 ,

kan det lineariserte systemet skrivast

 

der   er punktet ein undersøker og   er den jacobiske til   ved  .

StabilitetsanalyseEndra

I stabilitetsanalyse kan ein nytte eigenverdiane til jacobimatrisa i eit likevektspunkt for å avgjere eigenskapane til likevekta. Om alle eigenverdiane er positive er likevekta ustabil og om alle er negative er likevekta stabil. Om verdiane er både positive og negative er likevekta eit sadelpunkt. Alle komplekse eigenverdiar vil dukke opp i kompleks-konjugerte par og indikere ein spiral.

Sjå ògEndra

KjelderEndra