Laplace-likninga

Laplace-likninga eller Young-Laplace-likninga er ei ikkje-lineær partiell differensiallikning som skildrar kapillartrykkskilnaden i grenseflata mellom to statiske væsker, som vatn og luft, på grunn av fenomenet overflatespenning. Likninga knyter trykkskilnaden til forma på flata og er viktig i studiet av statiske kappilarflater. Likninga er ei framstilling av normalspenningsbalansen for statiske væsker i grenseflata mellom dei, der grenseflata vert handsama som ei overflate (med null tjukkleik):

${\begin{aligned}\Delta p&=\gamma \nabla \cdot {\hat {n}}\\&=2\gamma H\\&=\gamma \left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)\end{aligned}}$

der $\Delta p$ er trykkskilnaden over grenseflata mellom væskene, $\gamma$ er overflatespenninga, ${\hat {n}}$ er ei eining normalt på overflata, $H$ er gjennomsnittleg krumming og $R_{1}$ og $R_{2}$ radiusen til dei to hovudkrummingane. Merk at ein berre tar omsyn til spenninga normalt på flata, fordi det kan visast at ei statisk grenseflate berre er mogeleg når ein ikkje har sidevegs spenning.

Likninga er kalla opp etter Thomas Young, som utvikla ein kvalitativ teori om overflatespenning i 1805, og Pierre-Simon Laplace som fullførte den matematiske skildringa året etter. Han vert stundom kalla Young–Laplace–Gauss-likninga, sdan Gauss førte arbeidet til Young og Laplace saman i 1830.

Kapillartrykk i eit røyr

Konkavkonveks linse med kontaktvinklar mindre enn 90º

I eit smalt nok røyr (når bond-talet t.d. er lågt) med eit sirkelforma tverrsnitt med radius a, dannar grenseflata mellom to væsker ei konkavkonveks linse, som utgjer ein del av overflata til ein sfære med radius R. Trykkskilnaden over denne overflata er:

$\Delta p={\frac {2\gamma }{R}}.$

Det kan visast ved å skrive Young–Laplace-likninga på sylindrisk form med ein kontaktvinkel og ei referansehøgd som grensevilkår, til dømes botn av den konkavkonvekse linsa. Løysinga vert ein del av ein sfære, og løysinga vil berre eksistere for trykkskilnadane som er vist over. Dette er viktig fordi det ikkje finst ei anna likning eller lov som spesifiserer trykkskilnaden, vist ved at det for ein spesifikk trykkskilnad eksisterer ei løysing av likninga.

Radiusen til sfæren vil berre vere ein funksjon av kontaktvinkelen, θ, som igjen varierer med eigenskapane til væska og dei faste stoffa som væska er i kontakt med:

$R={\frac {a}{\cos \theta }}$

slik at trykkskilnaden kan skrivast:

$\Delta p={\frac {2\gamma \cos \theta }{a}}.$

Illustasjon av kapillarstigning. Raud=kontaktvinkel mindre enn 90°; blå=kontaktvinkel større enn 90°

For å oppretthalde hydrostatisk likevekt vert det induserte kapillartrykket balansert ved at høgda h til væska i røyret endrar seg. Høgda kan vere både positiv eller negativ, avhengig av om kontaktvinkelen er mindre eller større enn 90°. For ei væske med tettleik ρ:

$h={\frac {2\gamma \cos \theta }{\rho ga}}.$.

— der g er tyngdeakselerasjonen. Dette vert stundom kalla Jurin-regelen eller Jurin-høgda etter James Jurin som studerte effekten i 1718.

For eit glasrøyr fylt med vatn og luft ved havnivå:

γ = 0.0728 J/m² ved 20 °C	θ = 20° (0.35 rad)
ρ = 1000 kg/m3	g = 9,8 m/s²

vert høgda på vassøyla gjeven ved:

$h\approx {{1.4\times 10^{-5}} \over a}$ m.

Så for eit 2 mm breitt (radius 1 mm) røyr, vil vatnet stige 14 mm. For eit However, for a kapillarrøyr med radius 0,1 mm ville vatnet ha stige 14 cm.

Kapillaritet generelt

I det generelle tilfellet, for ei fri overflate der finst eit påført «overtrykk», Δp, ved grenseflata i likevekt, finst det ein balanse mellom det påførte trykket, det hydrostatiske trykket og effekten av overflatespenning. Laplace-likninga vert då:

$\Delta p=\rho gh-\gamma \left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right).$

Likninga kan gjerast dimensjonslaus ved å uttrykke ho med den karakteristiske lengdeskalaen, kapillarlengda :

$L_{c}={\sqrt {\frac {\gamma }{\rho g}}},$

— og karakteristisk trykk:

$p_{c}={\frac {\gamma }{L_{c}}}={\sqrt {\gamma \rho g}}.$

For reint vatn ved standard temperatur og trykk er kapillarlengda −2 mm.

Den dimensjonslause likninga vert då:

$h^{*}-\Delta p^{*}=\left({\frac {1}{{R_{1}}^{*}}}+{\frac {1}{{R_{2}}^{*}}}\right).$

Forma på overflata er dermed berre bunden av ein parameter. Overtrykket til væska, Δp^* og skalaen til overflata er gjevne ved kapillarlengda. Løysinga på likninga krev eit startvilkår for grenseflateforma og grenseflategradienten ved starttidspunktet.

Aksesymmetriske likningar

Den (dimensjonslause) forma, r(z), til ei aksesymmetrisk flate kan finnast ved å byte ut dei generelle uttrykka for krumming for å gje den hydrostatiske Laplace-likninga:

${\frac {r''}{(1+r'^{2})^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {1}{r(z){\sqrt {1+r'^{2}}}}}=z-\Delta p^{*}$

${\frac {z''}{(1+z'^{2})^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {z'}{r{\sqrt {1+z'^{2}}}}}=\Delta p^{*}-z(r).$

Bruk innan medisin

Innanfor medisin blir likninga ofte kalla lova til Laplace og blir bruka for å forklare fenomen innanfor lunge-, tarm- og kretsløpsfysiologi.

Lungefysiologi

Her er det særleg i høve til det som skjer med dei små lungebærene, alveolane, i lungene ved einskilde lungesjukdommar kor likninga har forklaringskraft. Ein tenkjer seg kvar einskild alveole som ei rund gassfylt kule. Ved ein radius R og ei overflatespenning T får ein eit trykk P inne i kula:

$P={\frac {2\times T}{R}}$

Ettersom overflatespenninga på dei fleste væsker, også vatn, er konstant, vil små lungeblærer ha eit høgare trykk inne i seg enn store. Ettersom lungeblærene heng saman vil difor små alveolar tømme seg inn i store og kollapse.

Når dette normalt ikkje skjer skuldast det m.a. at alveolene er kledd med surfaktant, eit såpeaktig stoff som senker overflatespenninga og verkar kraftigare inn dess mindre alveolane blir. At likninga til Laplace held stikk meiner ein syner seg ved surfaktant-mangel, t.d. respiratorisk distress syndrom kor lungene blir prega av vekselvis atelektasar (samanklapningar) og hyperinnflaterte (oppblåste) område.

Kritikarar av denne modellen meiner han ikkje tek nok omsyn til at alveolane ikkje er kuler, men mangekantar (polygon) med flate sider der dei ligg inntil kvarandre.

Kretsløpssystemet

Aneurismar er utposingar i pulsårene i kroppen. Dei kan oppstå på grunn av rifter eller medfødde misdanningar eller sjukdommar i åreveggen. Når dei først har starta vil dei gjerne vokse. Dette blir forklart ved at når utposinga startar aukar radiusen på karet. Då blir den krafta som er retta innover frå karveggen svekka, og aneurismet held fram med å vokse til det sprekk.

Meltingssystemet

Lova til Laplace gjev ei forklaring på kvifor urinblæra ikkje bør bli for fylt, hos vaksne bør volumet ikkje gå over 400 - 500 ml. Blir blæra utvida for mykje blir spenninga i veggane for lite til effektiv tømming. Ein trur òg at mekanismane ein ser ved aneurismar i pulsårene òg gjeld ved divertiklar i tarmane.

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Young–Laplace equation» frå Wikipedia på engelsk, den 30. desember 2008.
  • Wikipedia på engelsk oppgav desse kjeldene:

Bibliografi

• [Anon.] (1911) Capillary action, Encyclopedia Britannica
• Batchelor, G. K. (1967) An Introduction To Fluid Dynamics, Cambridge University Press
• James Jurin (1716). «An account of some experiments shown before the Royal Society; with an enquiry into the cause of the ascent and suspension of water in capillary tubes» (PDF). Philosophical Transactions of the Royal Society 30: 739–747. 
• Tadros T. F. (1995) Surfactants in Agrochemicals, Surfactant Science series, vol.54, Dekker