Polarkoordinatsystem

Eit polarkoordinatsystem er eit koordinatsystem der kvart punkt i eit plan er avgjort ut ifrå avstanden frå eit gjeve punkt (vanlegvis origo) og vinkel i tilhøve til x-aksen. I eit vanleg kartesisk koordinatsystem blir punkta avgjort ut ifrå avstanden til kvar koordinatakse.

To punkt med tilhøyrande koordinatsett gjevne med polarkoordinatar.

Prinsippet i polarkoordinatar er at ein angjev alle punkt ved hjelp av følgjande informasjon:

• Punktet sin vinkel (gradar eller radianar ) i tilhøve til kva ein ville kalle x-aksen i eit rektangulært koordinatsystem, θ.
• Punktet sin avstand frå origo, r.

Konvertering mellom polare og kartesiske koordinatar

Ein figur som viser tilhøvet mellom polare og kartesiske koordinatar.

Omrekning av polarkoordinatar til kartesiske koordinatar kan gjerast ved:

$x=r\cos \theta \,$

$y=r\sin \theta ,\,$

Medan omrekninga frå kartesiske koordinatar til polarkoordinatar kan gjerast ved:

$r={\sqrt {y^{2}+x^{2}}}\quad$ (gjeven ved Pythagoras’ læresetning), og

$\theta ={\begin{cases}0&{\mbox{viss }}x=0{\mbox{ og }}y=0\\\arcsin({\frac {y}{r}})&{\mbox{viss }}x\geq 0\\\arcsin({\frac {y}{r}})+\pi &{\mbox{viss }}x<0\\\end{cases}}$

Alle desse formlene føreset at referansepunktet for polarkoordinatsystemet er origo. Arcsinfunksjonen er den inverse funksjonen til sinusfunksjonen og gjev ei løysing i intervallet [−π/2,+π/2], så formelen for θ vil gje ei løysing i intervallet [−π/2,+π/2]. Dersom ein vil finne θ i intervallet [0, 2π) kan ein òg bruke:

$\theta ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{viss }}x>0{\mbox{ og }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})+2\pi &{\mbox{viss }}x>0{\mbox{ og }}y<0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{viss }}x<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{viss }}x=0{\mbox{ og }}y>0\\{\frac {3\pi }{2}}&{\mbox{viss }}x=0{\mbox{ og }}y<0\\0&{\mbox{viss }}x=0{\mbox{ og }}y=0\end{cases}}$

Bruk av polarkoordinatar

En sirkel

Ei likning uttrykt i polarkoordinatar er kjent som ei polar likning. Normalt er desse likningane gjevne ved å definere r som ein funksjon av θ. Denne definisjonen gjev visse fordeler i bruken av polarkoordinatar i tilhøve til kva ein kan oppnå med rektangulære. Særleg fordelaktig er det å bruke polarkoordinatar der det inngår noko sirkulært. Det enklaste tenkjelege dømet er å framstille ein sirkel. Her er definisjonen av ein sirkel med radius 1.

$\left.{\begin{matrix}x=r\cdot \cos(\varphi )\\y=r\cdot \sin(\varphi )\end{matrix}}\right\}\quad ,r=1\quad ,\quad \varphi \in [0,2\pi ]$

Lengda til det rørlege punktet vert altså sett til konstant å vere lik éin, som altså er avstanden frå origo til periferien. Deretter blir sett vinkelen til å variere mellom dei 0 og 2π eksklusiv (eller 0 og 360° i vinklar), der heile sirkelen er med.

Arkimedisk spiral

Ein arm av ein arkimedisk spiral likninga r(θ) = θ for 0 < θ < 6π

Ein arkimedisk spiral er ein spiral som vart oppdaga av Arkimedes, som kan forklarast med polarkoordinatar. Spiralen har formelen

$r(\theta )=a+b\theta .\,$

Ved å forandre a vil spiralen skifte form, medan b er distansen mellom kurvene, som for ein gjeven spiral alltid er konstant. Den arkimediske spiralen har to kurver, ein for θ > 0 og ein for θ < 0. Dei to kurvene startar i origo. Sett bort frå kjeglesnitta var denne kurven av dei første til å bli skildra. Kurva er òg eit godt døme på kurver som blir best skildra med polarkoordinater.

Polar rose

Ei polar rose med likning: r(θ) = 2 sin 4θ

Ei polar rose er ei matematisk kurve som ser ut som ein blome med kronblad og kan defineres som ei enkel polar likning:

$r(\theta )=a\cos(k\theta +\phi _{0})\,$

For ein kvar konstant $\phi _{0}$ (inkludert 0). Dersom k er eit heiltal vil desse likningane gje kurver der «blomen» har k kronblad når k er eit oddetal og 2k kronblad når k er eit partal. Dersom k er eit rasjonalt tal, men ikkje eit heiltal vil ein òg få fram ein blome der kronblada overlappar kvarandre. Her må derimot definisjonsintervallet for kurva vere større enn [0, 2π) for at «blomen» skal bli komplett. Merk at det er umogeleg å definere ei kurve der ein får $4n+2$, der n er eit heiltal, kronblad. Variabelen a gjev lengda på kronblada.

Kjeglesnitt

Alle kjeglesnitta kan òg uttrykkast ved hjelp av polarkoordinatar gjennom formelen:

$r={\ell \over {1+e\cos \theta }}$

Der e er eksentrisiteten. og $\ell$ er semi latus rectum

Dersom e > 1, vil likninga gje ein hyperbel; e = 1 gjev ein parabel medan e < 1 gjev ein ellipse. Spesialtilfellet e = 0 vil gje ein sirkel mad radius $\ell$.

Bruk i tre dimensjonar

Polarkoordinatar kan òg nyttast til bruk i tre dimensjonar. Kulekoordinatar og sylinderkoordinatar inneheld begge polarkoordinatplanet, utvida med ein ekstra akse.

Sylinderkoordinatar

Punktet P plotta med sylinderkoordinatar

Sylinderkoordinatsystemet er ei utviding av polarkoordinatar med ein ekstra z-akse, på same måte som det kartesiske koordinatsystemet i tre dimensjonar. Den tredje koordinaten er vanlegvis uttrykt med ein h eller ein z, som skildrar høgda til det øvre planet i sylinderen. Alle tre koordinatane blir då skrive (r, θ, h).

Samanhengen mellom dei tre sylinderkoordinatane og dei respektive kartesiske koordinatane blir

${\begin{aligned}x&=r\,\cos \theta \\y&=r\,\sin \theta \\z&=h.\end{aligned}}$

Kulekoordinatar

Punktet P plotta med kulekoordinatar

Kulekoordinatsystemet er eit koordinatsystem basert på polarkoordinatar. Kulekoordinatar skil seg frå polarkoordinatar ved at høgda frå xy-planet blir skildra av ein vinkel φ frå z-aksen, og at radiusen på xy-planet r er skildra med ρ som er radiusen frå origo til flata til ein lekam på eit vilkårleg punkt. Vinkelen til φ varierer med storleikane 0°-180° eller 0-π radianar. Alle dei tre koordinatane blir då skrive (ρ, θ, φ).

Samanhengen mellom dei tre kulekoordinatane og dei respektive kartesiske koordinatane blir;

${\begin{aligned}x&=\rho \,\sin \varphi \,\cos \theta \\y&=\rho \,\sin \varphi \,\sin \theta \\z&=\rho \,\cos \varphi .\end{aligned}}$

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Polarkoordinatsystem» frå Wikipedia på bokmål, den 9. januar 2012.