e i matematikk

(Omdirigert frå Talet e)
er det unike talet , slik at verdiar av den deriverte (hellinga til tangentlinja) til eksponentialfunksjonen (blå kurve) i punktet er nøyaktig lik 1. Til samanlikning er funksjonen (prikkete kurve) og (streka kurve) vist; dei er ikkje tangente til linja 1 (raud).
Området under grafen er lik 1 over intervallet

er ein matematisk konstant og eit unikt reelt tal definert slik at arealet over -aksen og under kurva for er nøyaktig lik 1. Det viser seg at arealet for er . Altså har funksjonen same verdi som hellinga til tangentlinja for alle verdiar av .[1] Meir generelt kan ein seie at berre funksjonar lik sin eigen derivert er på forma , kor er ein konstant.[2] Funksjonen definert slik vert kalla eksponentialfunksjonen og er den inverse til den naturlege logaritmen, eller logaritmen til grunntalet . Talet er ofte definert som grunntalet til den naturlege logartimen (i dette tilfellet vert logartimen definert ved hjelp av eit integral), som grensa til ei viss følgje, eller som summen av visse rekkjer.

Talet er eit av dei viktigaste tala i matematikken,[3] i lag med dei additive og multiplikative identitetane 0 og 1, konstanten π og den imaginære einingane . Desse fem konstantane utgjer Euleridentiteten.

Talet vert stundom kalla eulertalet etter den sveitsiske matematikaren Leonhard Euler. ( må ikkje forvekslast med Euler–Mascheroni-konstanten, som stundom vert berre vert kalla Eulerkonstanten.)

Talet er irrasjonalt; det er ikkje eit forhold mellom heiltal, og heller ikkje transcendentalt eller rota av eit polynom med heiltal som koeffisientar. Den numeriske verdien til med tjue desimalar er

HistorieEndra

Konstanten vart først nemnd i skriftlege kjelder i 1618 i ein tabell i tilleggsnotatet til eit verk om logaritmar av John Napier.[4] Verket inneheldt ikkje sjølve konstanten, men berre ei liste over naturlege logaritmar som vart rekna ut frå konstanten. Ein reknar med at tabellen vart skriven av William Oughtred. «Oppdaginga» av sjølve konstanten er tilskriven Jacob Bernoulli, som prøvde å finne verdien av uttrykket (som i røynda er  ):

 

Første gongen konstanten vart brukt, då som bokstaven  , var i brev frå Gottfried Leibniz til Christiaan Huygens i 1690 og 1691. Leonhard Euler starta å nytte bokstaven   for konstanten i 1727, og den første publikasjonen med   var Euler sin eigen Mechanica (1736). Dei neste åra nytta enkelte forskarar bokstaven  , men etter kvart vart   meir vanleg og til slutt standarden.

Den eksakte årsaka til at ein nytta bokstaven   er ikkje kjend, men det kan ha vore fordi det er første bokstaven i ordet eksponential. Ei anna mogeleg årsak er at Euler nytta   fordi det var den første vokalen etter   som han alt nytta for eit anna tal.

DefinisjonarEndra

Talet   kan representerast på mange forskjellige måtar, som ei uendeleg rekkje, eit uendeleg produkt, ein kjedebrøk eller som grenseverdien til ei rekkje.

GrenseverdiEndra

Som ein grenseverdi vert   definert

 .

Dette er den vanlegaste måten å representere konstanten på.

Uendeleg rekkeEndra

Ein kan òg definere   som summen av følgjande uendelege rekkjer

 

der   er fakultetet av  .

Løysinga av integrallikningEndra

  kan òg definerast som det unike talet   slik at

 .

Desse forskjellige definisjonane har vorte bevist å vere ekvivalente.

KjedebrøkEndra

Ein ikkje så vanleg måte å representere   på er som kjedebrøken

 

som kan skildrast på den meir kompakte forma:

 

Uendeleg produktEndra

Denne måten å representere   på inkluderer Pippengerproduktet

 

og Guilleraproduktet

 

kor den  te faktoren er  te-rota av produktet

 

EigenskaparEndra

  er grunntalet for den naturlege logaritmen:

 .

Vidare er   irrasjonalt, og transcendentalt ifølgje Lindermann-Weierstrass-teoremet. Dette vart først bevist av Charles Hermite i 1873.

Lenkje til komplekse talEndra

Med omsyn til Eulerformelen er

 .

Spesialtilfellet kor   er kjend som eulerlikskapen:

 

Dei harmoniske funksjonane kan berre representerast ved eksponensialfunksjonar.

 

Løysinga av differensiallikningarEndra

Mange vekst- og nedbrytingsprosesser kan modellerast gjennom eksponentialfunksjonar. Eksponentialfunksjonen   er viktig fordi det er den unike funksjonen som løyser differensiallikninga

 

  er lik sin egen deriverte. Den mest generelle funksjonen som er sin egen deriverte er  , kor   er ein konstant.

Ein kuriositetEndra

For   oppnår ein maksimum for funksjonen

 

Meir generelt gjev verdien   maksimum for funksjonen

 

KjelderEndra

  1. Keisler, H.J. Derivatives of Exponential Functions and the Number e
  2. Keisler, H.J. General Solution of First Order Differential Equation
  3. Howard Whitley Eves (1969). An Introduction to the History of Mathematics. Holt, Rinehart & Winston. 
  4. O'Connor, J.J., og Roberson, E.F.; The MacTutor History of Mathematics archive: "The number  "; University of St Andrews Scotland (2001)

BakgrunnsstoffEndra