Thoralf Skolem

Thoralf Albert Skolem (23. mai 1887–23. mars 1963) var ein norsk matematikar. Skolem leverte viktige bidrag til matematisk logikk, mengdelære, talteori, algebra og kombinatorikk, men han er mest kjend for arbeidet sitt med matematisk logikk. Han blir òg rekna som ein av dei sentrale teoretikarane innanfor metamatematikk, som er nært knytt til matematisk logikk.

Thoralf Skolem
Fødd	Thoralf Albert Skolem 23. mai 1887 Sandsvær kommune
Død	23. mars 1963 Oslo
Nasjonalitet	Noreg
Område	matematisk logikk, modellteori, mengdelære, abstrakt algebra
Yrke	matematikar, filosof, universitetslærar
Institusjonar	Universitetet i Oslo Chr. Michelsens Institutt Universitetet i Oslo
Alma mater	Universitetet i Oslo
Doktorgradsrettleiar	Axel Thue

Biografi

Skolem vart fødd i Sandsvær i Buskerud, der faren var lærar. I 1905 tok han artium, og like etterpå byrja han å studere matematikk ved Universitetet i Oslo. I 1913 fekk han grada si i matematikk med hovudoppgåva Undersøkinger innenfor logikkens algebra. Denne avhandlinga gav han karakteren 1.0, som var den absolutt beste karakteren på den tida. Denne prestasjonen var så merkverdig at han vart rapportert til kongen.

Seinare vart Skolem assistent for den kjende fysikaren Kristian Birkeland, og dei første vitskaplege publikasjonane sine skreiv han saman med Birkeland.

Skuleåret 1915-1916 studerte Skolem ved Universitetet i Göttingen. Göttingen representerte det fremste forskingssenteret innan matematisk logikk, metamatematikk og abstrakt algebra på den tida. Tida i Göttingen hadde nok stor innverknad på Skolem, og han vart sjølv ein respektert teoretiker innanfor desse tre felta. På den tida Skolem var i Göttingen var blant andre David Hilbert professor her, og etter at Felix Klein hadde fått sving på forskingssenteret på slutten av 1800-talet hadde fleire store matematikarar arbeidd der.

Etter opphaldet i Tyskland, vende Skolem tilbake til Universitetet i Oslo, og i 1918 fekk han ein nyoppretta stilling som dosent i matematikk der.

I studietida hadde Skolem og Viggo Brun vorte samde om at ingen av dei skulle ta seg bryet med å ta ein doktorgrad i matematikk. I 1920-åra voks det derimot fram ein ny generasjon av norske matematikarar, og det var truleg som følgje av dette at Skolem fann ut at ein doktorgrad likevel var bryet verd. I 1926 tok han då endeleg doktorgraden sin, i ein alder av 40 år. Tittelen på avhandlinga var Einige Sätze über ganzzahlige Lösungen gewisser Gleichungen und Ungleichungen. Året etter gifta han seg med Edith Wilhelmine Hasvold.

Skolem jobba ved Chr. Michelsens Institutt 1930–1938. Deretter var han professor ved Universitetet i Oslo mellom 1938 og 1958. Han leia òg Norsk matematisk forening, var redaktør for Norsk matematisk tidsskrift og ein av grunnleggjarane av tidsskriftet Mathematica Scandinavica i 1953.

I 1957 gjekk han av med pensjon, men han vart verande aktiv heilt fram til han brått og heilt uventa døydde i 1963. I dei siste åra før han døydde var han på fleire besøk til USA, der han heldt forelesningar ved ei rekkje universitet.

Skolems matematikk

Skolem publiserte ei rekkje viktige artiklar om emne som diofantiske likningar, gruppeteori og matematisk logikk. Ei av dei viktigaste setningane i matematisk logikk, Skolem-Løwenheims setning, er kalla opp etter han. Denne setninga rettar seg mot ein del av grunnlaga til matematikken, og han seier noko forenkla at alle teoriar som har ein modell òg har ein teljeleg modell. Setninga er sentral innanfor såkalla modellteori, der Skolem reknast som ein av grunnleggjarane.

Skolem leverte òg viktige bidrag til det teoretiske grunnlaget for mengdelæra, der han blant anna utvida og forbetra Zermelos aksiom for mengdelære. Han viste òg at ein konsekvens av Skolem-Løwenheims setning er det som blir kalla for Skolems paradoks: Viss Zermelos aksiom er konsistente, så må dei kunne tilfredsstillast innanfor eit teljeleg område, sjølv om dei beviser eksistensen av ikkje-teljelege mengder.

Læra om uendelegheit er sentral i mengdelæra, og Georg Cantor viste at uendelege mengder kan ha ulike storleikar. Skolem hadde lita tiltru til den rådande oppfatninga av uendelegheitsomgrepet, og han vart ein av grunnleggjarane av teorien om endelegheit i matematikken. Dette er ei ekstrem form for konstruktivisme, som dreier seg om at eit matematisk objekt berre eksisterer viss det kan konstruerast av dei naturlege tala i ei endeleg mengd steg.

Kuriosum

Skolem var medlem av Vitskapsakademiet i Oslo heilt frå 1918, og han mottok fleire utmerkingar for resultata sine i matematikken. I 1954 vart han utnemnd til riddar av 1. klasse av St. Olavs orden. I 1962 fekk han Gunnerusmedaljen av Det Kongelege Norske Videnskabers Selskab.

Dei fleste av dei nærare 200 vitskaplege artiklane til Skolem vart publisert i norske tidsskrift. I starten var han ikkje så kjend internasjonalt, og dette har nok med at han i så stor grad publiserte på norsk. Etterkvart fekk han derimot stor internasjonal heider, og han blir i dag rekna som ein av dei største logikarane på 1900-talet.

Skolems verk

Her er ei liste over nokre av verka til Thoralf Skolem:

• Untersuchungen über die Axiome des Klassenkalküls und über die Produktations- und Summationsprobleme, welche gewissen Klassen von Aussagen betreffen, 1919
• Logisch-kombinatorische Untersuchungen über die Erfüllbarkeit und Beweisbarkeit mathematischer Sätze nebst einem Theorem über dichte Mengen, 1920
• Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre, 1922-1923
• Begründung der elementaren Arithmetik durch die rekurrierende Denkweise ohne Anwendung scheinbarer Veränderlicher mit unendlichem Ausdehnungsbereich, 1923
• Über einige Grundlagenfragen der Mathematik, 1929
• Über die Grundlagendiskussion in der Mathematik, 1929-1930
• Über einige Satzfunktionen in der Arithmetik, 1930-1931
• Den matematiske logikk og aritmetikken, 1931
• Über die Unmöglichkeit einer vollständigen Charakterisierung der Zahlenreihe mittels eines endlichen Axiomensystems, 1933
• Undersøkelser over potensrester og over logisk karakterisering av tallrekken, 1933
• Über die Nicht-Charakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels eines endlich oder abzählbar unendlich vieler Aussagen mit ausschließlich Zahlenvariablen, 1934
• En metode til behandling av ubestemte ligninger, 1934
• Über die Erfüllbarkeit gewisser Zählausdrücke, 1935
• Über die Zurückführbarkeit einiger durch Rekursionen definierten Relationen auf 'arithmetische' , 1936-1937
• Ubestemte lineære ligninger og ligningssystemer, 1937
• Sur la porteé de Löwenheim-Skolem, 1938
• Polynomers aritmetiske egenskaper, 1938
• Einige Bemerkungen über die Induktionsschemata in der rekursiven Zahlentheorie, 1939
• Some remarks on recursive arithmetic, 1944
• Consideraciones sobre los fundamentos de la matematica, 1952
• Abstract set theory, 1962

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Thoralf Skolem» frå Wikipedia på bokmål, den 15. februar 2012.

Bakgrunnsstoff

• MacTutor: Thoralf Skolem. (engelsk)
• Fenstad, Jens Erik (1996) «Thoralf Albert Skolem 1887-1963: A Biographical Sketch,» Nordic Journal of Philosophical Logic 1: 99-106.
• Baas, Nils A. (2000) Norsk matematikk - stolte tradisjoner Arkivert 2005-02-12 ved Wayback Machine.. Gunnerusforelesning i Det Kongelig Norske Videnskabers Selskab.
• Thoralf Skolem hos Mathematics Genealogy Project